ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту: если радиус основания равен $r$, то их общая высота равна $h$. По условию $h=r$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

$$S_{\text{цил}}=2\pi r\cdot h=2\pi r\cdot r=2\pi r^2.$$

По условию $S_{\text{цил}}=3\sqrt{2}$, значит

$$2\pi r^2=3\sqrt{2}\Rightarrow \pi r^2=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Образующая конуса $l$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $h$ (высота конуса перпендикулярна плоскости основания и приходит в его центр). По теореме Пифагора

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}.$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{\text{кон}}=\pi rl=\pi r\cdot r\sqrt{2}=\pi r^2\sqrt{2}.$$

Подставим найденное значение $\pi r^2=\frac{3\sqrt{2}}{2}$:

$$S_{\text{кон}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{3\cdot 2}{2}=3.$$

Ответ: $3$.