В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC. Точки K, M и P — середины сторон AB, BC и AC соответственно. Найдите объём… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Объём средняя 2026

В основании пирамиды $S A B C$ лежит треугольник $A B C .$ Точки $K,$ $M$ и $P$ — середины сторон $A B,$ $B C$ и $A C$ соответственно. Найдите объём пирамиды $S K M P,$ если объём пирамиды $S A B C$ равен 32.

Разбор — 1 балл

Обозначим площадь основания $A B C$ через $S_{A B C}$ , а высоту пирамиды $S A B C$ (расстояние от вершины $S$ до плоскости основания) — через $h$ . У пирамид $S A B C$ и $S K M P$ общая вершина $S$ , а их основания лежат в одной плоскости $(A B C)$ , поэтому высоты, опущенные из $S$ на эту плоскость, совпадают.

Точки $K$ , $M$ , $P$ — середины сторон $A B$ , $B C$ и $A C$ , поэтому отрезки $K M$ , $M P$ , $P K$ — средние линии треугольника $A B C$ . Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине, значит треугольник $K M P$ подобен треугольнику $A B C$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$ . Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

$S_{K M P} = (\frac{1}{2})^{2} \cdot S_{A B C} = \frac{1}{4} S_{A B C} .$

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту. Так как высота у пирамид $S A B C$ и $S K M P$ одна и та же $h$ , получаем

$V_{S K M P} = \frac{1}{3} \cdot S_{K M P} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} S_{A B C} \cdot h = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot h) = \frac{1}{4} \cdot V_{S A B C} .$

По условию $V_{S A B C} = 32$ , поэтому

$V_{S K M P} = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8.$

Ответ: $8$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3