ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед так, что его основания лежат в основаниях параллелепипеда, а боковая поверхность касается боковых граней. Значит, основание параллелепипеда — квадрат, в который вписана окружность основания цилиндра, а высота параллелепипеда равна высоте цилиндра.

У окружности, вписанной в квадрат, диаметр равен стороне квадрата. По условию радиус основания цилиндра равен $2$, значит его диаметр равен $2\cdot 2=4$ — это и есть сторона квадрата в основании параллелепипеда.

Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра, то есть тоже $2$.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Площадь квадратного основания равна $4\cdot 4=16$, поэтому

$$V=4\cdot 4\cdot 2=32.$$

Ответ: $32$.