В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB=8… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Объём средняя

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B = 8$ , $B C = 7$ , $A A_{1} = 6$ . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A $_{1}$ , B $_{1}$ , C $_{1}$ .

Разбор — 1 балл

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ все боковые рёбра равны и перпендикулярны плоскостям оснований. Многогранник с вершинами $A$ , $B$ , $C$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — это треугольная призма: в его основаниях лежат треугольники $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ (половины прямоугольников $A B C D$ и $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , отсечённые диагоналями $A C$ и $A_{1} C_{1}$ ), а боковым ребром служит отрезок $A A_{1}$ .

Треугольник $A B C$ прямоугольный, так как угол при вершине $B$ прямой (угол прямоугольника $A B C D$ ), а его катеты — стороны $A B = 8$ и $B C = 7$ . Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 = 28.$

Ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости основания $A B C$ (как боковое ребро прямоугольного параллелепипеда), поэтому оно служит высотой призмы. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

$V = S_{A B C} \cdot A A_{1} = 28 \cdot 6 = 168.$

Ответ: $168$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3