ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Радиус основания конуса равен радиусу шара $R,$ значит основание конуса — это большой круг шара, то есть круг, проходящий через центр шара. Вершина конуса лежит на шаре с противоположной стороны от этого круга, поэтому высота конуса равна радиусу шара: $h=R.$

Объём такого конуса равен

$$V_{\text{конус}}=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R=\frac{1}{3}\pi R^3.$$

Объём шара вычисляется по формуле

$$V_{\text{шар}}=\frac{4}{3}\pi R^3,$$

то есть он в 4 раза больше объёма конуса. Значит,

$$V_{\text{конус}}=\frac{V_{\text{шар}}}{4}=\frac{48}{4}=12.$$

Ответ: 12.