ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Разбор — 1 балл

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=50$. Проведём в нём диагонали, соединяющие противоположные вершины. Они пересекаются в центре шестиугольника и делят его на $6$ равных углов по $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$, а каждый угол самого шестиугольника (равный $120^{\circ }$) такая диагональ делит на два угла по $60^{\circ }$. Значит, все шесть треугольников, на которые разбит шестиугольник, имеют углы $60^{\circ }$, $60^{\circ }$, $60^{\circ }$, то есть они равносторонние со стороной $a$.

Диагональ $AD$, соединяющая противоположные вершины, состоит из двух сторон таких равносторонних треугольников (от $A$ до центра и от центра до $D$), поэтому

$$AD=a+a=2a=2\cdot 50=100.$$

Призма правильная, значит её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $D{D}_1$ перпендикулярно плоскости основания, а диагональ $AD$ лежит в этой плоскости, поэтому $AD\perp D{D}_1$, и треугольник $AD{D}_1$ прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Угол $\angle A{D}_{1}D$ находится при вершине $D_1$, противолежащий ему катет — $AD$, а прилежащий — боковое ребро $D{D}_1=a=50$. Значит,

$$\mathrm{tg}\angle A{D}_{1}D=\frac{AD}{D{D}_1}=\frac{2a}{a}=\frac{100}{50}=2.$$

Ответ: $2$.