ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Рассмотрим грань правильного тетраэдра — это правильный треугольник. Пусть его сторона равна $x$, а площадь равна $S$.

Когда все рёбра тетраэдра увеличивают в $8$ раз, сторона каждой грани становится равной $8x$. Треугольники со сторонами $x$ и $8x$ подобны с коэффициентом подобия $k=8$, так как все стороны пропорциональны с одним и тем же коэффициентом. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь новой грани равна

$$S^{\prime }=k^2\cdot S=8^2\cdot S=64S.$$

Каждая из четырёх граней тетраэдра увеличивается в одинаковое число раз, поэтому вся площадь поверхности, равная их сумме, тоже увеличивается в $64$ раза.

Ответ: $64$.