ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Разбор — 1 балл

Все двугранные углы многогранника прямые, поэтому его можно представить как прямоугольный параллелепипед, у которого от одного угла вырезан меньший прямоугольный параллелепипед — получается фигура со «ступенькой».

По отметкам на рисунке исходный параллелепипед имеет измерения $5$, $4$ и $4$ (ширина, глубина и высота), а вырезанный из его угла прямоугольный блок — измерения $2$, $2$ и $1$: он задевает сразу три грани большого параллелепипеда — верхнюю, переднюю и одну из боковых.

Обозначим измерения большого параллелепипеда $a=5$ (ширина), $b=4$ (глубина), $c=4$ (высота), а размеры вырезанного блока вдоль тех же направлений — $p=2$, $r=1$, $q=2$ соответственно (вырез идёт по ширине на $p$, по глубине от передней грани на $r$ и по высоте от верхней грани на $q$).

Переберём все грани получившегося многогранника:

— нижняя грань выреза не касается, её площадь равна $a\cdot b=5\cdot 4=20$;

— задняя грань тоже цела, её площадь $a\cdot c=5\cdot 4=20$;

— боковая грань с противоположной от выреза стороны цела, её площадь $b\cdot c=4\cdot 4=16$;

— верхняя грань теряет прямоугольный кусок $p\times r=2\times 1=2$ там, где сделан вырез, поэтому её площадь равна $a\cdot b-p\cdot r=20-2=18$;

— передняя грань теряет кусок $p\times q=2\times 2=4$, поэтому её площадь равна $a\cdot c-p\cdot q=20-4=16$;

— боковая грань со стороны выреза теряет кусок $q\times r=2\times 1=2$, поэтому её площадь равна $b\cdot c-q\cdot r=16-2=14$;

— на месте выреза появляются три новые грани-«стенки»: дальняя стенка площадью $p\cdot q=2\cdot 2=4$, нижняя стенка площадью $p\cdot r=2\cdot 1=2$ и боковая стенка площадью $q\cdot r=2\cdot 1=2$.

Сложим площади всех девяти граней:

$$S=20+20+16+18+16+14+4+2+2=112.$$

Ответ: $112$.