ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Разбор — 1 балл

Пусть $ABCD$ — грань прямоугольного параллелепипеда, являющаяся квадратом, а $A{C}_1$ — диагональ параллелепипеда, выходящая из вершины $A$ этой грани. Ребро $C{C}_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, поэтому отрезок $AC$ — это проекция диагонали $A{C}_1$ на эту плоскость, а угол между диагональю и гранью — угол $\angle C_{1}AC$. По условию он равен $45^{\circ }$.

Треугольник $AC{C}_1$ прямоугольный (угол при вершине $C$ равен $90^{\circ }$, так как $C{C}_1\perp ABCD$), а угол при вершине $A$ равен $45^{\circ }$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }$, угол при вершине $C_1$ тоже равен $45^{\circ }$ — треугольник равнобедренный, значит его катеты равны: $AC=C{C}_1$. По теореме Пифагора $A{C}_1^2=A{C}^2+C{C}_1^2=2A{C}^2$, откуда $AC=\frac{A{C}_1}{\sqrt{2}}$. Подставим $A{C}_1=\sqrt{8}$:

$$AC=C{C}_1=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2.$$

Грань $ABCD$ — квадрат, а $AC$ — его диагональ. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$, откуда $a^2=\frac{A{C}^2}{2}$ — это и есть площадь квадрата. Значит,

$$S_{ABCD}=\frac{A{C}^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2.$$

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту; возьмём за основание грань $ABCD$, а за высоту — перпендикулярное к ней ребро $C{C}_1$:

$$V=S_{ABCD}\cdot C{C}_1=2\cdot 2=4.$$

Ответ: $4$.