ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Пусть основание цилиндра и конуса — круг радиуса $r$, а их общая высота равна $h$. Объём цилиндра:

$$V_{\text{цил}}=\pi r^{2}h.$$

Объём конуса с тем же основанием и высотой:

$$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$$

Отношение этих объёмов не зависит от конкретных $r$ и $h$:

$$\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}}=\frac{\pi r^{2}h}{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}=3.$$

Значит, объём цилиндра всегда в $3$ раза больше объёма конуса с общими основанием и высотой. По условию $V_{\text{кон}}=9$, поэтому

$$V_{\text{цил}}=3\cdot 9=27.$$

Ответ: $27$.