ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Если шар вписан в цилиндр, он касается обоих оснований и всей боковой поверхности. Значит, радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R,$ а высота цилиндра равна диаметру шара, то есть $2R.$

Площадь поверхности шара равна

$$S_{\text{шара}}=4\pi R^2.$$

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площадей двух оснований и боковой поверхности:

$$S_{\text{цил}}=2\pi R^2+2\pi R\cdot h=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R=6\pi R^2.$$

По условию $S_{\text{цил}}=6,$ значит $6\pi R^2=6,$ откуда $\pi R^2=1.$ Тогда площадь поверхности шара равна

$$S_{\text{шара}}=4\pi R^2=4\cdot 1=4.$$

Ответ: 4.