ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника основания и отсекает от него треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$ (по признаку подобия — общий угол и пропорциональные стороны).

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь основания отсечённой призмы меньше площади основания исходной в

$$k^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\text{раза}.$$

Секущая плоскость параллельна боковому ребру, значит высота отсечённой призмы (расстояние между основаниями вдоль бокового ребра) совпадает с высотой исходной призмы. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а так как высота не меняется, объём отсечённой призмы тоже составляет $\frac{1}{4}$ объёма исходной:

$$V_{\text{отс}}=\frac{1}{4}\cdot V_{\text{исх}}.$$

По условию $V_{\text{отс}}=24$, поэтому

$$V_{\text{исх}}=4\cdot V_{\text{отс}}=4\cdot 24=96.$$

Ответ: $96$.