ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Разбор — 1 балл

Обозначим площадь основания пирамиды $SABCD$ через $S_{ABCD}$, а её высоту (расстояние от вершины $S$ до плоскости основания) — через $h$. Тогда

$$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot h=12.$$

Диагональ $AC$ делит квадрат $ABCD$ на два равных треугольника, поэтому площадь треугольника $ABC$ равна половине площади основания:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}.$$

Точка $E$ — середина ребра $SB$. Высота пирамиды $EABC$ — это расстояние от точки $E$ до плоскости $(ABC)$. Так как $E$ — середина отрезка $SB$, а точка $B$ лежит в плоскости основания, расстояние от $E$ до этой плоскости равно половине расстояния от $S$ до неё, то есть половине высоты исходной пирамиды:

$$h_E=\frac{1}{2}h.$$

Объём пирамиды $EABC$:

$$V_{EABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h_E=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{S}_{ABCD}\cdot \frac{1}{2}h=\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot h\right)=\frac{1}{4}\cdot V_{SABCD}.$$

Подставим $V_{SABCD}=12$:

$$V_{EABC}=\frac{1}{4}\cdot 12=3.$$

Ответ: $3$.