ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту, поэтому если радиус основания равен $r$, то высота обоих тел равна $h$. По условию $h=r$.

Образующая конуса $l$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $r$ (радиус) и $h$ (высота), так как высота конуса перпендикулярна плоскости основания и приходит в его центр. По теореме Пифагора

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}.$$

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания и образующей:

$$S_{\text{кон}}=\pi rl=\pi r\cdot r\sqrt{2}=\pi r^2\sqrt{2}.$$

По условию $S_{\text{кон}}=3\sqrt{2}$, значит

$$\pi r^2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\Rightarrow \pi r^2=3.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

$$S_{\text{цил}}=2\pi r\cdot h=2\pi r\cdot r=2\pi r^2.$$

Подставим найденное значение $\pi r^2=3$:

$$S_{\text{цил}}=2\cdot 3=6.$$

Ответ: $6$.