ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

После расстановки плюсов сумма состоит из слагаемых вида $1$, $11$, $111$, $1111$, … Слагаемое из $k$ единиц использует ровно $k$ единиц с доски. Порядок слагаемых может быть любым, поэтому важно только, сколько слагаемых каждого вида.

Пусть в сумме $x$ слагаемых $1$, $y$ слагаемых $11$, $z$ слагаемых $111$, $w$ слагаемых $1111$ и так далее. Всего на доске $50$ единиц, поэтому

$$x+2y+3z+4w+\dots =50.$$

а) Возьмём $36$ слагаемых $1$ и $7$ слагаемых $11$:

$$\underset{7\text{слагаемых}}{\underbrace{11+11+\dots +11}}+\underset{36\text{слагаемых}}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=7\cdot 11+36=77+36=113.$$

Использовано единиц: $7\cdot 2+36\cdot 1=14+36=50$ — ровно столько, сколько написано. Значит, сумму $113$ получить можно.

б) Предположим, что сумма $114$ получилась. Слагаемые $1111$ и больше превосходят $114$, поэтому их нет, и в сумме участвуют только $1$, $11$ и $111$:

$$\{\begin{array}{l}x+11y+111z=114,\\ x+2y+3z=50.\end{array}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$9y+108z=64.$$

Левая часть делится на $9$, а $64$ на $9$ не делится. Противоречие, значит, сумму $114$ получить нельзя.

в) Оценка. Пусть сумма четырёхзначная, то есть не больше $9999$.

Слагаемых из пяти и более единиц нет: каждое из них не меньше $11111>9999$. Значит, в сумме участвуют только $1$, $11$, $111$ и $1111$, и

$$x+2y+3z+4w=50.$$

Покажем, что $w⩽8$. Так как $1111w⩽9999$, то $w⩽9$. Если $w=9$, то слагаемые $1111$ используют $36$ единиц и дают $9999$, а оставшиеся $14$ единиц дают ещё хотя бы $14$ (слагаемое из $k$ единиц не меньше $k$). Тогда сумма не меньше $9999+14=10013$ — пятизначная. Значит, $w⩽8$.

Теперь оценим вклад слагаемых $1$, $11$, $111$. На одну использованную единицу слагаемое $1$ даёт $1$, слагаемое $11$ даёт $\frac{11}{2}=5,5$, а слагаемое $111$ даёт $\frac{111}{3}=37$. Поэтому

$$x+11y+111z⩽37x+37\cdot 2y+37\cdot 3z=37(x+2y+3z)=37(50-4w).$$

Значит, вся сумма не больше

$$1111w+37(50-4w)=1111w+1850-148w=963w+1850⩽963\cdot 8+1850=7704+1850=9554.$$

Пример. Возьмём $8$ слагаемых $1111$ и $6$ слагаемых $111$:

$$\underset{8\text{слагаемых}}{\underbrace{1111+\dots +1111}}+\underset{6\text{слагаемых}}{\underbrace{111+\dots +111}}=8888+666=9554.$$

Использовано единиц: $8\cdot 4+6\cdot 3=32+18=50$. Сумма $9554$ четырёхзначная, значит, оценка достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $9554$.