ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Расположим оценки по возрастанию: $a_1<a_2<\dots <a_7$ — различные целые числа от $0$ до $12$. Обозначим $S=a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$. Старый рейтинг равен $\frac{a_1+a_7+S}{7}$, новый — $\frac{S}{5}$. Их разность

$$\frac{a_1+a_7+S}{7}-\frac{S}{5}=\frac{5(a_1+a_7+S)-7S}{35}=\frac{5a_1+5a_7-2S}{35}.$$

Числитель $5a_1+5a_7-2S$ — целое число.

а) Если разность равна $\frac{1}{25}$, то

$$5a_1+5a_7-2S=\frac{35}{25}=\frac{7}{5}.$$

Слева целое число, справа нецелое. Значит, так быть не может.

б) Нужно подобрать оценки, при которых $5a_1+5a_7-2S=1$. Возьмём оценки $3,4,5,6,8,9,10$: они различны и лежат от $0$ до $12$. Здесь $S=4+5+6+8+9=32$ и

$$5\cdot 3+5\cdot 10-2\cdot 32=15+50-64=1.$$

Проверим напрямую: старый рейтинг $\frac{3+4+5+6+8+9+10}{7}=\frac{45}{7}$, новый $\frac{32}{5}$, разность

$$\frac{45}{7}-\frac{32}{5}=\frac{225-224}{35}=\frac{1}{35}.$$

Значит, может.

в) Оценка. Оценки целые и различные, поэтому $a_{k+1}⩾a_k+1$. Отсюда $a_2⩾a_1+1$, $a_3⩾a_1+2$, …, $a_6⩾a_1+5$, и

$$S⩾5a_1+(1+2+3+4+5)=5a_1+15.$$

Тогда

$$5a_1+5a_7-2S⩽5a_1+5a_7-10a_1-30=5(a_7-a_1)-30.$$

Так как $a_7⩽12$ и $a_1⩾0$, имеем $a_7-a_1⩽12$, и числитель не больше $5\cdot 12-30=30$. Значит, разность рейтингов не больше $\frac{30}{35}=\frac{6}{7}$.

Пример. Все неравенства обращаются в равенства при $a_1=0$, $a_7=12$ и $a_2,\dots ,a_6=1,2,3,4,5$. Для оценок $0,1,2,3,4,5,12$ старый рейтинг $\frac{27}{7}$, новый $\frac{15}{5}=3$, разность

$$\frac{27}{7}-3=\frac{27-21}{7}=\frac{6}{7}.$$

Значит, наибольшая разность равна $\frac{6}{7}$.

Ответ: а) нет; б) да; в) $\frac{6}{7}$.