ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Число становится равным $10$ после уменьшения только если оно было равно $11$. Поэтому стёрты в точности те числа $11$, которые уменьшили. Обозначим через $n$ количество стёртых чисел, а через $m$ — количество чисел, которые уменьшили, но не стёрли.

а) Пусть на доске $19$ чисел $11$ и одно число $50$. Их среднее арифметическое

$$\frac{19\cdot 11+50}{20}=\frac{259}{20}=12,95.$$

Уменьшим все $19$ чисел $11$: они станут равными $10$ и будут стёрты, а число $50$ не меняем. На доске останется одно число $50$, его среднее равно $50>12,95$. Значит, среднее могло увеличиться.

б) Сумма исходных чисел равна $37\cdot 20=740$. Стёрто $n$ чисел $11$, у остальных $20-n$ чисел сумма равна $740-11n$, и $m$ из них уменьшились на $1$, причём $0⩽m⩽20-n$. Новая сумма равна $740-11n-m$.

Пусть новое среднее равно $44$. Тогда

$$740-11n-m=44(20-n)\iff m=33n-140.$$

Из $m⩾0$ получаем $33n⩾140$, то есть $n⩾\frac{140}{33}=4\frac{8}{33}$, значит, $n⩾5$.

Из $m⩽20-n$ получаем $33n-140⩽20-n$, то есть $34n⩽160$, $n⩽\frac{160}{34}=4\frac{12}{17}$, значит, $n⩽4$.

Условия $n⩾5$ и $n⩽4$ несовместны. Значит, среднее не могло стать равным $44$.

в) Оценка. Остальные $20-n$ исходных чисел (которые не стёрли) не больше $50$ каждое, поэтому их сумма не больше $50(20-n)$:

$$740-11n⩽50(20-n)\iff 39n⩽260\iff n⩽6\frac{2}{3}.$$

Так как $n$ целое, $n⩽6$. Среднее оставшихся чисел равно

$$\frac{740-11n-m}{20-n}⩽\frac{740-11n}{20-n}=\frac{11(20-n)+520}{20-n}=11+\frac{520}{20-n}.$$

При $n⩽6$ знаменатель $20-n⩾14$, поэтому

$$11+\frac{520}{20-n}⩽11+\frac{520}{14}=11+\frac{260}{7}=\frac{337}{7}.$$

Итак, среднее оставшихся чисел не больше $\frac{337}{7}$.

Пример. Пусть на доске $6$ чисел $11$, $13$ чисел $50$ и одно число $24$. Всего $20$ чисел, каждое больше $10$ и не больше $50$. Их сумма $6\cdot 11+13\cdot 50+24=66+650+24=740$, среднее равно $37$. Уменьшим все шесть чисел $11$ — они станут равными $10$ и будут стёрты, остальные не меняем. Останутся $13$ чисел $50$ и число $24$:

$$\frac{13\cdot 50+24}{14}=\frac{674}{14}=\frac{337}{7}.$$

Значит, наибольшее значение равно $\frac{337}{7}$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{337}{7}$.