ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Сначала выясним, какими бывают переходы. Пусть $x$ — член последовательности, а $y$ — следующий за ним. Если $y$ делится на $x$, то $y=kx$, где $k$ натуральное. При $k⩾3$ было бы $y⩾3\cdot 60=180>130$, что невозможно. Значит, $y=x$ (повтор) или $y=2x$. Итак, следующее число либо равно предыдущему, либо вдвое больше, либо на $2$ меньше.

а) Возьмём последовательность

$$128;126;124;\dots ;62;60,$$

где каждое число на $2$ меньше предыдущего. Все числа лежат от $60$ до $130$ и различны, а их количество равно $\frac{128-60}{2}+1=35$. Значит, может.

б) Возьмём последовательность

$$129;127;\dots ;63;61;122;120;\dots ;76;74.$$

Сначала идут все нечётные числа от $129$ до $61$, каждое на $2$ меньше предыдущего, — их $\frac{129-61}{2}+1=35$. Затем $122=2\cdot 61$ (делится на предыдущее), а после него все чётные числа от $122$ до $74$ с шагом $2$ — их $\frac{122-74}{2}+1=25$. Нечётные и чётные числа не совпадают, поэтому различных чисел $35+25=60$. Значит, может.

в) Всего от $60$ до $130$ есть $71$ число: $35$ нечётных (от $61$ до $129$) и $36$ чётных (от $60$ до $130$).

Пример на 70 чисел.

$$129;127;\dots ;63;61;122;120;\dots ;62;60;120;118;\dots ;66;64;128;126;124.$$

Переходы: нечётные числа идут с шагом $-2$; $122=2\cdot 61$; от $122$ до $60$ с шагом $-2$; $120=2\cdot 60$; от $120$ до $64$ с шагом $-2$; $128=2\cdot 64$; затем $126$ и $124$. Все числа лежат от $60$ до $130$. В последовательности есть все $35$ нечётных чисел и все чётные числа от $60$ до $128$ (от $60$ до $122$ — в первом чётном блоке, $124$, $126$, $128$ — в конце), их тоже $35$. Всего $70$ различных чисел, нет только $130$.

Оценка. Докажем, что все $71$ число встретиться не могут. Сначала два наблюдения.

1. После чётного числа идут только чётные: число, равное чётному, чётно; чётное минус $2$ — чётно; удвоенное число всегда чётно. Значит, все нечётные члены стоят в начале последовательности, до первого чётного.

2. Нечётное число может идти только после нечётного, и только как повтор или «на $2$ меньше» (удвоение даёт чётное). Значит, в начальной нечётной части числа не возрастают.

Предположим, что в последовательности встречаются все $71$ число, в частности $130$. Рассмотрим первое появление числа $130$. Оно не может быть «на $2$ меньше предыдущего» (тогда предыдущее равно $132>130$) и не может быть повтором (это первое появление). Значит, либо $130$ — первый член, либо перед ним стоит $65$ (так как $130=2\cdot 65$).

Случай 1: первый член равен $130$. Он чётный, поэтому по наблюдению 1 все члены чётные, нечётных чисел нет вовсе, и различных чисел не больше $36<71$.

Случай 2: последовательность имеет вид $\dots ;65;130;\dots$ После $130$ идут только чётные числа, поэтому все нечётные числа стоят до $130$. Все члены до $65$ включительно нечётные (иначе по наблюдению 1 число $65$ было бы чётным), и по наблюдению 2 они не возрастают. Значит, все нечётные члены не меньше $65$, и чисел $61$ и $63$ в последовательности нет. Тогда различных чисел не больше $71-2=69$.

В обоих случаях получаем противоречие. Значит, различных чисел не больше $70$, а пример показывает, что $70$ достигается.

Ответ: а) да; б) да; в) $70$.