ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Заметим, что если $a>b$ — натуральные числа, то $a+b>a-b⩾1$. Значит, после хода снова получается пара натуральных чисел, в которой первое число больше второго, и ходы можно продолжать.

а) Сделаем четыре хода:

$$(50;9)\to (59;41)\to (100;18)\to (118;82)\to (200;36).$$

Проверим: $50+9=59$, $50-9=41$; $59+41=100$, $59-41=18$; $100+18=118$, $100-18=82$; $118+82=200$, $118-82=36$. Большее число последней пары равно $200$, значит, можно.

б) Посмотрим, что происходит за два хода подряд:

$$(a;b)\to (a+b;a-b)\to ((a+b)+(a-b);(a+b)-(a-b))=(2a;2b).$$

То есть каждые два хода оба числа удваиваются. Поэтому из $(50;9)$ за $2k$ ходов получается пара $(2^k\cdot 50;2^k\cdot 9)$. За $2k+1$ ходов: первый ход даёт $(59;41)$, а потом $k$ раз происходит удвоение — получается $(2^k\cdot 59;2^k\cdot 41)$.

Значит, большее число любой полученной пары равно $50\cdot 2^k$ или $59\cdot 2^k$. Но $408$ не такое: $50\cdot 8=400<408<800=50\cdot 16$ и $59\cdot 4=236<408<472=59\cdot 8$. Следовательно, пару $(408;370)$ получить нельзя.

в) Сделаем два наблюдения.

1. Числа любой пары, полученной ходом, одной чётности: их разность $(a+b)-(a-b)=2b$ чётна. Значит, пару из чисел разной чётности получить ходом нельзя.

2. Предыдущая пара восстанавливается однозначно: если $(a+b;a-b)=(c;d)$, то

$$a=\frac{c+d}{2},b=\frac{c-d}{2}.$$

Восстановим цепочку назад от пары $(408;370)$:

$$a=\frac{408+370}{2}=389,b=\frac{408-370}{2}=19\Rightarrow (389;19),$$

$$a=\frac{389+19}{2}=204,b=\frac{389-19}{2}=185\Rightarrow (204;185).$$

Числа $204$ и $185$ разной чётности, поэтому пару $(204;185)$ нельзя получить ходом, и цепочка назад обрывается.

Оценка. Итак, пара $(408;370)$ получается за один или несколько ходов только из пар $(389;19)$ и $(204;185)$. Значит, $a⩾204$.

Пример. Из пары $(204;185)$ за два хода получается нужная пара:

$$(204;185)\to (204+185;204-185)=(389;19)\to (389+19;389-19)=(408;370).$$

Значит, наименьшее $a$ равно $204$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $204$.