ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в классе было $n$ учащихся, из них $d$ девочек. По условию $11⩽n⩽27$ и

$$\frac{d}{n}⩽\frac{26}{100}\iff 100d⩽26n.$$

После прихода новой девочки в классе $n+1$ учащийся, из них $d+1$ девочка, причём $12⩽n+1⩽28$.

а) Если девочек $6$, то нужно $600⩽26n$, то есть $n⩾\frac{600}{26}=23\frac{1}{13}$, $n⩾24$. Пример: $6$ девочек и $18$ мальчиков. Тогда $n=24$, условие $11⩽24⩽27$ выполнено, а доля девочек

$$\frac{6}{24}\cdot 100\%=25\%⩽26\%.$$

Значит, $6$ девочек в классе быть может.

б) Предположим, что новая доля равна $30\%$:

$$\frac{d+1}{n+1}=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}\iff 10(d+1)=3(n+1).$$

Число $3(n+1)$ делится на $10$, а $3$ и $10$ взаимно просты, поэтому $n+1$ делится на $10$. Среди чисел от $12$ до $28$ на $10$ делится только $20$. Значит, $n+1=20$, $d+1=6$, то есть $n=19$, $d=5$.

Проверим исходную долю: $100d=500$, а $26n=26\cdot 19=494$. Получилось $100d>26n$, то есть доля девочек $\frac{5}{19}$ больше $26\%$. Противоречие с условием, значит, доля не может стать равной $30\%$.

в) Пусть после прихода девочки их доля составила $p\%$, где $p$ — целое:

$$p=\frac{100(d+1)}{n+1}.$$

Оценка. Сначала докажем, что $p<33$. Из условия $100d⩽26n$ получаем

$$100(d+1)=100d+100⩽26n+100.$$

Сравним $26n+100$ с $33(n+1)=33n+33$: неравенство $26n+100<33n+33$ равносильно $67<7n$, а оно верно, так как $n⩾11$ и $7n⩾77$. Значит, $100(d+1)<33(n+1)$, то есть $p<33$ и $p⩽32$.

Теперь исключим $p=32,31,30,29$. Если $\frac{p}{100}=\frac{s}{t}$ — несократимая дробь, то из $t(d+1)=s(n+1)$ следует, что $n+1$ делится на $t$, причём $12⩽n+1⩽28$.

$p=32$: $\frac{32}{100}=\frac{8}{25}$, значит, $n+1$ делится на $25$, то есть $n+1=25$, $d+1=8$. Тогда $n=24$, $d=7$ и $100d=700>624=26\cdot 24$ — исходная доля больше $26\%$. Не подходит.

$p=31$: дробь $\frac{31}{100}$ несократима, $n+1$ должно делиться на $100$, а $n+1⩽28$. Не подходит.

$p=30$: невозможно по пункту б).

$p=29$: дробь $\frac{29}{100}$ несократима, $n+1$ должно делиться на $100$. Не подходит.

Значит, $p⩽28$.

Пример. Пусть, как в пункте а), в классе $6$ девочек и $18$ мальчиков: всего $24$ учащихся, доля девочек $25\%⩽26\%$. После прихода новой девочки девочек $7$ из $25$:

$$\frac{7}{25}\cdot 100\%=28\%.$$

Значит, наибольшая доля равна $28\%$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $28$.