ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала докажем полезное свойство хода. Пусть $\frac{a}{b}$ — правильная несократимая дробь, то есть $0<a<b$ и $\text{НОД}(a,b)=1$.

Новая дробь $\frac{2a+b}{3a+b}$ правильная, так как $a>0$ и потому $2a+b<3a+b$. Она несократимая: НОД двух чисел не меняется, если из одного вычесть другое (алгоритм Евклида), поэтому

$$\text{НОД}(3a+b,2a+b)=\text{НОД}(a,2a+b)=\text{НОД}(a,b)=1.$$

Значит, после хода снова получается правильная несократимая дробь, и следующий ход тоже можно сделать.

а) Сделаем три хода:

$$\frac{1}{3}\to \frac{2\cdot 1+3}{3\cdot 1+3}=\frac{5}{6}\to \frac{2\cdot 5+6}{3\cdot 5+6}=\frac{16}{21}\to \frac{2\cdot 16+21}{3\cdot 16+21}=\frac{53}{69}.$$

Каждый ход делается из правильной несократимой дроби: $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{6}$ и $\frac{16}{21}$ правильные, и в каждой числитель и знаменатель взаимно просты ($16=2^4$, $21=3\cdot 7$). Значит, получить $\frac{53}{69}$ можно.

б) Предположим, что это возможно. Пусть после первого хода получилась дробь $\frac{a}{b}$. По доказанному она правильная и несократимая, а второй ход даёт несократимую дробь $\frac{2a+b}{3a+b}$. Две несократимые дроби с натуральными числителями и знаменателями равны только тогда, когда равны их числители и знаменатели. Так как $\frac{8}{13}$ тоже несократима, получаем систему

$$\{\begin{array}{l}2a+b=8,\\ 3a+b=13.\end{array}$$

Вычтем из второго уравнения первое: $a=5$, тогда $b=8-10=-2<0$. Противоречие с тем, что $b$ натуральное. Значит, получить $\frac{8}{13}$ за два хода нельзя.

в) Найдём, во что переходит дробь $\frac{a}{b}$ за два хода:

$$\frac{a}{b}\to \frac{2a+b}{3a+b}\to \frac{2(2a+b)+(3a+b)}{3(2a+b)+(3a+b)}=\frac{7a+3b}{9a+4b}.$$

По доказанному эта дробь несократима. Поэтому несократимая дробь $\frac{c}{d}$ получается за два хода из $\frac{a}{b}$ тогда и только тогда, когда

$$\{\begin{array}{l}c=7a+3b,\\ d=9a+4b.\end{array}$$

Выразим отсюда $a$ и $b$. Умножим первое уравнение на $4$, второе на $3$ и вычтем: $4c-3d=28a-27a=a$. Умножим второе на $7$, первое на $9$ и вычтем: $7d-9c=28b-27b=b$. Итак,

$$a=4c-3d,b=7d-9c.$$

Значит, исходная дробь по $\frac{c}{d}$ определяется однозначно, и $\frac{c}{d}$ можно получить за два хода ровно тогда, когда $\frac{4c-3d}{7d-9c}$ — правильная несократимая дробь. Разберём условия.

1. $a>0$: $4c>3d$, то есть $\frac{c}{d}>\frac{3}{4}$.

2. $a<b$: $4c-3d<7d-9c$, то есть $13c<10d$, или $\frac{c}{d}<\frac{10}{13}$. При этом $b>a>0$, так что $b$ тоже натуральное.

3. $\text{НОД}(a,b)=1$. Это выполняется автоматически: по алгоритму Евклида ($7a+3b-3(2a+b)=a$)

$$\text{НОД}(c,d)=\text{НОД}(7a+3b,9a+4b)=\text{НОД}(7a+3b,2a+b)=\text{НОД}(a,2a+b)=\text{НОД}(a,b),$$

а $\text{НОД}(c,d)=1$.

Итак, за два хода получаются ровно те несократимые дроби, которые лежат в интервале $\left(\frac{3}{4};\frac{10}{13}\right)$.

Оценка. Пусть несократимая дробь $\frac{c}{d}$ удовлетворяет условию $0,76<\frac{c}{d}<\frac{10}{13}$. Тогда $\frac{c}{d}>0,76>0,75=\frac{3}{4}$, поэтому по доказанному её можно получить за два хода (из дроби $\frac{4c-3d}{7d-9c}$). Значит, все несократимые дроби между $0,76$ и $\frac{10}{13}$ получить можно, и искомая дробь не меньше $\frac{10}{13}$.

Пример. Дробь $\frac{10}{13}$ несократима и больше $0,76$, так как $10\cdot 100=1000>988=76\cdot 13$. Для неё

$$a=4\cdot 10-3\cdot 13=1,b=7\cdot 13-9\cdot 10=1.$$

Единственная дробь, из которой за два хода получается $\frac{10}{13}$, — это $\frac{1}{1}$ (действительно, $\frac{1}{1}\to \frac{3}{4}\to \frac{10}{13}$), но она не правильная. Значит, $\frac{10}{13}$ получить нельзя, и это наименьшая такая дробь.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{10}{13}$.