Последовательность a₁, a₂, …, an, … состоит из натуральных чисел… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2018 развёрнутое

Последовательность $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ состоит из натуральных чисел, причем $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ при всех натуральных $n .$

а) Может ли выполняться равенство $4 a_{5} = 7 a_{4} ?$

б) Может ли выполняться равенство $5 a_{5} = 7 a_{4} ?$

в) При каком наибольшем натуральном $n$ может выполняться равенство $6 n a_{n + 1} = (n^{2} + 24) a_{n} ?$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим $a_{1} = x$ , $a_{2} = y$ , где $x$ и $y$ — натуральные числа. По правилу $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

$a_{3} = x + y, a_{4} = a_{3} + a_{2} = x + 2 y, a_{5} = a_{4} + a_{3} = 2 x + 3 y .$

а) Подставим эти выражения в равенство $4 a_{5} = 7 a_{4}$ :

$4 (2 x + 3 y) = 7 (x + 2 y) \Leftrightarrow 8 x + 12 y = 7 x + 14 y \Leftrightarrow x = 2 y .$

Возьмём $y = 1$ , $x = 2$ . Получаем последовательность

$2, 1, 3, 4, 7, 11, \dots$

Все её члены натуральные, и каждый, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: $3 = 2 + 1$ , $4 = 3 + 1$ , $7 = 4 + 3$ , $11 = 7 + 4$ и так далее. Проверим равенство: $a_{4} = 4$ , $a_{5} = 7$ , поэтому $4 a_{5} = 28$ и $7 a_{4} = 28$ . Значит, равенство может выполняться.

б) Действуем так же:

$5 (2 x + 3 y) = 7 (x + 2 y) \Leftrightarrow 10 x + 15 y = 7 x + 14 y \Leftrightarrow 3 x + y = 0.$

Но $x ⩾ 1$ и $y ⩾ 1$ , поэтому $3 x + y ⩾ 4 > 0$ . Противоречие, значит, равенство $5 a_{5} = 7 a_{4}$ выполняться не может.

в) Сначала выясним, каким может быть отношение соседних членов.

Все члены натуральные, поэтому при $n ⩾ 3$ имеем $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} > a_{n - 1}$ . Значит, начиная со второго члена, последовательность строго возрастает: $a_{2} < a_{3} < a_{4} < \dots$ Тогда при $n ⩾ 3$

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{a _{n} + a _{n - 1}}{a _{n}} = 1 + \frac{a _{n - 1}}{a _{n}} < 1 + 1 = 2,$

так как $a_{n - 1} < a_{n}$ . Равенство из условия перепишем в виде

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n ^{2} + 24}{6 n} .$

Оценка. Пусть равенство выполнено при некотором $n ⩾ 3$ . Тогда $\frac{n ^{2} + 24}{6 n} < 2$ , то есть $n^{2} + 24 < 12 n$ :

$n^{2} - 12 n + 24 < 0 \Leftrightarrow 6 - 23 < n < 6 + 23 .$

Так как $23 = 12$ и $3 < 12 < 4$ , то $9 < 6 + 23 < 10$ . Значит, $n ⩽ 9$ .

Осталось исключить $n = 9, 8, 7, 6$ . Будем восстанавливать последовательность с конца по формуле $a_{k} = a_{k + 2} - a_{k + 1}$ и следить, чтобы все члены оставались натуральными. Пользуемся таким фактом: если $p A = q B$ и числа $p$ и $q$ взаимно просты, то $B$ делится на $p$ , то есть $B = p k$ и $A = q k$ для некоторого натурального $k$ .

Случай $n = 9$ : $6 \cdot 9 \cdot a_{10} = (81 + 24) a_{9}$ , то есть $54 a_{10} = 105 a_{9}$ , или $18 a_{10} = 35 a_{9}$ . Числа $18$ и $35$ взаимно просты, поэтому $a_{9} = 18 k$ , $a_{10} = 35 k$ . Тогда

$a_{8} = a_{10} - a_{9} = 17 k, a_{7} = a_{9} - a_{8} = k, a_{6} = a_{8} - a_{7} = 16 k, a_{5} = a_{7} - a_{6} = - 15 k < 0.$

Противоречие: $a_{5}$ должно быть натуральным.

Случай $n = 8$ : $48 a_{9} = 88 a_{8}$ , то есть $6 a_{9} = 11 a_{8}$ . Отсюда $a_{8} = 6 k$ , $a_{9} = 11 k$ и

$a_{7} = a_{9} - a_{8} = 5 k, a_{6} = a_{8} - a_{7} = k, a_{5} = a_{7} - a_{6} = 4 k, a_{4} = a_{6} - a_{5} = - 3 k < 0.$

Противоречие.

Случай $n = 7$ : $42 a_{8} = 73 a_{7}$ . Число $73$ простое и не делит $42$ , поэтому $a_{7} = 42 k$ , $a_{8} = 73 k$ и

$a_{6} = a_{8} - a_{7} = 31 k, a_{5} = a_{7} - a_{6} = 11 k, a_{4} = a_{6} - a_{5} = 20 k, a_{3} = a_{5} - a_{4} = - 9 k < 0.$

Противоречие.

Случай $n = 6$ : $36 a_{7} = 60 a_{6}$ , то есть $3 a_{7} = 5 a_{6}$ . Отсюда $a_{6} = 3 k$ , $a_{7} = 5 k$ и

$a_{5} = a_{7} - a_{6} = 2 k, a_{4} = a_{6} - a_{5} = k, a_{3} = a_{5} - a_{4} = k, a_{2} = a_{4} - a_{3} = 0.$

Противоречие: $a_{2}$ должно быть натуральным.

Итак, среди $n ⩾ 3$ подходят только $n ⩽ 5$ , а $n = 1$ и $n = 2$ тем более меньше $5$ . Значит, $n ⩽ 5$ .

Пример. При $n = 5$ равенство имеет вид $30 a_{6} = 49 a_{5}$ . Числа $30$ и $49$ взаимно просты, поэтому $a_{5} = 30 k$ , $a_{6} = 49 k$ , и, восстанавливая с конца,

$a_{4} = 19 k, a_{3} = 11 k, a_{2} = 8 k, a_{1} = 3 k .$

Все члены положительны. Возьмём $k = 1$ : последовательность $3, 8, 11, 19, 30, 49, \dots$ (дальше продолжаем по правилу). Правило выполнено: $3 + 8 = 11$ , $8 + 11 = 19$ , $11 + 19 = 30$ , $19 + 30 = 49$ . Проверим равенство при $n = 5$ :

$6 \cdot 5 \cdot a_{6} = 30 \cdot 49 = 1470, (5^{2} + 24) a_{5} = 49 \cdot 30 = 1470.$

Значит, наибольшее $n$ равно $5$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20