ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

При каждом ходе сумма чисел увеличивается ровно на $1$:

$$(a+2)+(b-1)=a+b+1,(a-1)+(b+2)=a+b+1.$$

Сначала сумма равна $5+7=12$, значит, после $k$ ходов она равна $12+k$.

Разность $b-a$ при ходе $(a+2;b-1)$ уменьшается на $3$, а при ходе $(a-1;b+2)$ увеличивается на $3$. Поэтому её остаток при делении на $3$ не меняется. Сначала $b-a=7-5=2$, значит, разность $b-a$ всегда даёт остаток $2$ при делении на $3$.

Пара ходов подряд увеличивает оба числа на $1$:

$$(a;b)\to (a+2;b-1)\to (a+1;b+1).$$

а) Нет, нельзя. После $50$ ходов сумма равна $12+50=62$. Оба числа положительны, поэтому каждое из них не больше $61<100$.

б) После $k$ ходов сумма равна $12+k$, поэтому сумма $400$ получается только при $k=400-12=388$. Покажем, что это возможно: повторим пару ходов $194$ раза и получим

$$(5;7)\to \dots \to (5+194;7+194)=(199;201),$$

сумма $199+201=400$. Все числа по пути положительны: на первом ходе каждой пары второе число уменьшается на $1$, но оно не меньше $7$.

в) Оценка. После $k$ ходов сумма равна $12+k$, и она не больше $100+100=200$, поэтому $k⩽188$. Если $k=188$, то сумма равна $200$, а при обоих числах не больше $100$ это возможно только для пары $(100;100)$. Но её разность $0$ делится на $3$, а разность $b-a$ всегда даёт остаток $2$. Значит, $k⩽187$.

Пример. Повторим пару ходов $93$ раза — это $186$ ходов:

$$(5;7)\to \dots \to (5+93;7+93)=(98;100).$$

Перед $i$-й парой ходов (считая с нуля) пара равна $(5+i;7+i)$, а промежуточная пара — $(7+i;6+i)$. При $i⩽92$ все эти числа не больше $100$. Последним, $187$-м ходом получим $(98;100)\to (100;99)$ — оба числа не больше $100$.

Ответ: а) нет; б) $388$; в) $187$.