ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Будем пользоваться признаком: число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на $3$. Второе число — сумма цифр первого, третье — сумма цифр второго, поэтому все три числа дают одинаковый остаток при делении на 3.

а) Да, может. Возьмём первое число $2009$. Сумма его цифр $2+0+0+9=11$, сумма цифр числа $11$ равна $1+1=2$. Получаем тройку $2009,11,2$ — числа различны, и

$$2009+11+2=2022.$$

б) Нет, не может. Пусть все три числа дают остаток $r$ при делении на $3$: $3p+r$, $3q+r$, $3s+r$. Их сумма $3(p+q+s)+3r$ делится на $3$. А сумма цифр числа $2021$ равна $5$, поэтому $2021$ на $3$ не делится.

в) Первое число трёхзначное, поэтому сумма его цифр (второе число) не больше $9+9+9=27$. Среди чисел от $1$ до $27$ сумму цифр $2$ имеют только $2$, $11$ и $20$. Второе число не может быть равно $2$, так как тогда оно совпадёт с третьим. Значит, второе число равно $11$ или $20$. При этом первое (трёхзначное) число заведомо отличается от второго и третьего, так что все тройки с таким вторым числом подходят.

Остаётся посчитать трёхзначные числа с суммой цифр $11$ и с суммой цифр $20$. Пусть первая цифра равна $a$, тогда на две последние цифры (каждая от $0$ до $9$) приходится сумма $s$. Сумма двух цифр равна $s$ в $s+1$ случаях при $s⩽9$ и в $19-s$ случаях при $s⩾9$.

Сумма цифр $11$: $s=11-a$.

$$\begin{array}{cccccccccc}a& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ s& 10& 9& 8& 7& 6& 5& 4& 3& 2\\ \text{Чисел}& 9& 10& 9& 8& 7& 6& 5& 4& 3\end{array}$$

Например, при $a=1$ это $119,128,\dots ,191$, при $a=2$ — $209,218,\dots ,290$. Всего

$$9+10+9+8+7+6+5+4+3=61.$$

Сумма цифр $20$: $s=20-a$.

$$\begin{array}{cccccccccc}a& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ s& 19& 18& 17& 16& 15& 14& 13& 12& 11\\ \text{Чисел}& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\end{array}$$

При $a=1$ чисел нет, так как две цифры дают в сумме не больше $18$; при $a=2$ подходит только $299$. Всего

$$0+1+2+3+4+5+6+7+8=36.$$

Итого троек $61+36=97$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $97$.