ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Так как произведение цифр не равно нулю, все цифры $a,b,c$ — от $1$ до $9$. Разделим число на произведение цифр почленно:

$$\frac{\overline{abc}}{abc}=\frac{100a+10b+c}{abc}=\frac{100}{bc}+\frac{10}{ac}+\frac{1}{ab}.$$

а) Да, может. Возьмём число $135$: произведение цифр $1\cdot 3\cdot 5=15$, и

$$\frac{135}{15}=9.$$

б) Нет, не может. Предположим, что

$$100a+10b+c=2abc.$$

Сначала оценим $bc$. Перенесём $100a$ вправо: $10b+c=a(2bc-100)$. Левая часть положительна, $a>0$, значит, $2bc-100>0$, то есть $bc>50$. Кроме того, $bc⩽9\cdot 9=81$.

Теперь используем чётность. Правая часть $2abc$ чётна, слагаемые $100a$ и $10b$ чётны, поэтому цифра $c$ чётна: $c\in \{2;4;6;8\}$. Переберём варианты:

• $c=2$: нужно $2b>50$, то есть $b>25$ — такой цифры нет;
• $c=4$: нужно $4b>50$, то есть $b>12,5$ — такой цифры нет;
• $c=6$: нужно $6b>50$, то есть $b=9$. Тогда $100a+96=108a$, $8a=96$, $a=12$ — не цифра;
• $c=8$: нужно $8b>50$, то есть $b\in \{7;8;9\}$.

Разберём последний случай подробно:

$$b=7:100a+78=112a,12a=78,a=6,5;$$

$$b=8:100a+88=128a,28a=88,a=\frac{22}{7};$$

$$b=9:100a+98=144a,44a=98,a=\frac{49}{22}.$$

Ни в одном случае $a$ не является цифрой. Значит, число не может быть в два раза больше произведения своих цифр.

в) Оценка. Все цифры не меньше $1$, поэтому $bc⩾1$, $ac⩾1$, $ab⩾1$ и

$$\frac{\overline{abc}}{abc}=\frac{100}{bc}+\frac{10}{ac}+\frac{1}{ab}⩽100+10+1=111.$$

Пример. При $a=b=c=1$ все три неравенства обращаются в равенства:

$$\frac{111}{1\cdot 1\cdot 1}=111.$$

Значит, наибольшее отношение равно $111$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $111$.