ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Все числа — натуральные от $9$ до $48$. Их сумма равна $30\cdot 15=450$.

После уменьшения вдвое число становится меньше $5$ тогда и только тогда, когда исходное число меньше $10$, то есть равно $9$. Значит, стираются ровно все девятки (они превращаются в $4,5$), а все остальные числа, не меньшие $10$, остаются.

Пусть чисел, отличных от $9$, ровно $m$ штук, тогда девяток $30-m$. Если бы все числа были девятками, их сумма была бы $270\ne 450$, поэтому $m⩾1$. Сумма чисел, отличных от $9$:

$$S=450-9(30-m)=180+9m.$$

После уменьшения вдвое их сумма равна $\frac{S}{2}$, и среднее оставшихся чисел

$$A=\frac{S}{2m}=\frac{180+9m}{2m}=\frac{9}{2}+\frac{90}{m}.$$

а) Да, могло. Условие $A>18$ означает $\frac{90}{m}>13,5$, то есть $m<6\frac{2}{3}$. Возьмём $m=6$: тогда $S=180+54=234=6\cdot 39$. Итак, пусть на доске двадцать четыре числа $9$ и шесть чисел $39$.

Все числа больше $8$ и не больше $48$, их среднее

$$\frac{24\cdot 9+6\cdot 39}{30}=\frac{216+234}{30}=\frac{450}{30}=15.$$

После уменьшения вдвое девятки стали $4,5$ и стёрты, остались шесть чисел $19,5$. Их среднее $19,5>18$.

б) Нет, не могло. Предположим, что $16<A<17$:

$$16<\frac{9}{2}+\frac{90}{m}<17\iff 11,5<\frac{90}{m}<12,5\iff \frac{90}{12,5}<m<\frac{90}{11,5}.$$

Получаем $7,2<m<7\frac{19}{23}$, а целых чисел в этом промежутке нет. Противоречие, ведь $m$ — количество чисел.

в) Среднее $A=\frac{9}{2}+\frac{90}{m}$ тем больше, чем меньше $m$.

Оценка. Каждое из $m$ чисел, отличных от $9$, не больше $48$, поэтому $S⩽48m$:

$$180+9m⩽48m\Rightarrow 39m⩾180\Rightarrow m⩾4\frac{8}{13}.$$

Так как $m$ целое, $m⩾5$, и

$$A=\frac{9}{2}+\frac{90}{m}⩽\frac{9}{2}+\frac{90}{5}=4,5+18=22,5.$$

Пример. При $m=5$ получаем $S=180+45=225=5\cdot 45$. Пусть на доске двадцать пять чисел $9$ и пять чисел $45$. Их среднее

$$\frac{25\cdot 9+5\cdot 45}{30}=\frac{225+225}{30}=15.$$

После уменьшения вдвое девятки стёрты, остались пять чисел $22,5$, их среднее равно $22,5$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $22,5$.