В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 46%. а)… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом средняя 2023 развёрнутое

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 46%.

а) Может ли в этом классе быть 9 девочек?

б) Может ли доля девочек составить 55%, если в этот класс придёт новая девочка?

в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть в классе $n$ учащихся, из них $d$ девочек. По условию $10 < n ⩽ 26$ и

$\frac{d}{n} ⩽ \frac{46}{100} \Leftrightarrow 100 d ⩽ 46 n .$

а) Да, может. Пусть в классе $9$ девочек и $16$ мальчиков. Тогда $n = 25$ , и $10 < 25 ⩽ 26$ . Доля девочек

$\frac{9}{25} \cdot 100% = 36% ⩽ 46%.$

б) Нет, не может. После прихода новой девочки девочек стало $d + 1$ , а всех учащихся $n + 1$ . Докажем, что новая доля меньше $51%$ , то есть $100 (d + 1) < 51 (n + 1)$ .

Из условия $100 d ⩽ 46 n$ получаем

$100 (d + 1) = 100 d + 100 ⩽ 46 n + 100.$

Сравним $46 n + 100$ и $51 (n + 1) = 51 n + 51$ :

$46 n + 100 < 51 n + 51 \Leftrightarrow 49 < 5 n \Leftrightarrow n > 9, 8.$

Это верно, так как $n ⩾ 11$ . Значит, $100 (d + 1) < 51 (n + 1)$ , и доля девочек стала меньше $51%$ , а значит, и меньше $55%$ .

в) Оценка. По пункту б) после прихода новой девочки доля девочек меньше $51%$ . Если она составляет целое число процентов, то это не больше $50%$ .

Пример. Пусть в классе было $5$ девочек и $6$ мальчиков, $n = 11$ . Проверим, что доля девочек не превышала $46%$ :

$\frac{5}{11} ⩽ \frac{46}{100} \Leftrightarrow 500 ⩽ 506 — верно .$

После прихода новой девочки доля стала

$\frac{6}{12} \cdot 100% = 50%.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $50$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20