ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Заметим главное: при каждом ходе сумма чисел увеличивается ровно на $1$. Действительно,

$$(A-1)+(B+2)=A+B+1,(A+2)+(B-1)=A+B+1.$$

Сначала сумма равна $4+5=9$, значит, после $k$ ходов она равна $9+k$.

Ещё нам пригодится пара ходов подряд, которая увеличивает оба числа на $1$:

$$(A;B)\to (A+2;B-1)\to (A+1;B+1).$$

а) Нет, нельзя. За $100$ ходов сумма чисел станет не больше $9+100=109$. Оба числа натуральные, то есть не меньше $1$, поэтому каждое из них не больше $108<200$.

б) После $k$ ходов сумма равна $9+k$. Сумма $300$ получается только при $9+k=300$, то есть ровно за $k=291$ ход. Покажем, что это возможно.

Повторим пару ходов $(A;B)\to (A+2;B-1)\to (A+1;B+1)$ $145$ раз — это $290$ ходов, и получится пара $(4+145;5+145)=(149;150)$. Все промежуточные числа натуральные: на первом ходе каждой пары второе число уменьшается на $1$, но оно не меньше $5$. Сделаем ещё один ход $(149;150)\to (151;149)$, всего $291$ ход, и сумма $151+149=300$.

в) Будем считать, что после каждого хода оба числа не превышают $200$.

Оценка. После $k$ ходов сумма равна $9+k$, и она не больше $200+200=400$. Значит, $k⩽391$.

Рассмотрим разность $B-A$. При ходе $(A-1;B+2)$ она увеличивается на $3$, при ходе $(A+2;B-1)$ уменьшается на $3$. Поэтому её остаток при делении на $3$ не меняется. Сначала $B-A=5-4=1$, значит, разность всегда даёт остаток $1$ при делении на $3$.

Если сделано $391$ ход, то сумма равна $400$, и при обоих числах не больше $200$ это возможно только для пары $(200;200)$. Но её разность $0$ делится на $3$ — противоречие. Значит, $k⩽390$.

Пример. Повторим пару ходов $(A;B)\to (A+2;B-1)\to (A+1;B+1)$ $195$ раз — это $390$ ходов:

$$(4;5)\to \dots \to (4+195;5+195)=(199;200).$$

Перед $i$-й парой ходов (считая с нуля) пара равна $(4+i;5+i)$, а промежуточная пара — $(6+i;4+i)$. При $i⩽194$ все эти числа не больше $200$. Значит, $390$ ходов сделать можно.

Ответ: а) нет; б) $291$; в) $390$.