ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть дано число $\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a$ — от $1$ до $9$, а $b$ и $c$ — от $0$ до $9$. Сумма его цифр равна $a+b+c$.

а) Да, может. Подберём пример. Если частное равно $12$, то

$$100a+10b+c=12(a+b+c)\iff 88a=2b+11c\iff 11(8a-c)=2b.$$

Число $2b$ не больше $18$ и должно делиться на $11$, поэтому $2b=0$, то есть $b=0$ и $c=8a$. Так как $c⩽9$, получаем $a=1$, $c=8$. Проверим число $108$:

$$108:(1+0+8)=108:9=12.$$

б) Нет, не может. Предположим, что частное равно $87$:

$$100a+10b+c=87(a+b+c)\iff 13a=77b+86c.$$

Так как $a⩽9$, левая часть не больше $13\cdot 9=117$. Значит, $77b+86c⩽117$. Отсюда $b⩽1$, $c⩽1$, и $b$, $c$ не могут быть одновременно равны $1$ (иначе $77+86=163>117$). Остаются три случая:

• $b=0$, $c=0$: тогда $13a=0$ и $a=0$, но первая цифра не может быть нулём;
• $b=1$, $c=0$: тогда $13a=77$, но $77$ не делится на $13$ ($13\cdot 5=65$, $13\cdot 6=78$);
• $b=0$, $c=1$: тогда $13a=86$, но $86$ не делится на $13$ ($13\cdot 6=78$, $13\cdot 7=91$).

Во всех случаях противоречие.

в) Пусть частное равно натуральному числу $n$. Тогда

$$100a+10b+c=n(a+b+c)\iff (100-n)a+(10-n)b=(n-1)c.$$

Оценка. Предположим, что $n⩽10$. Тогда $10-n⩾0$, и слагаемое $(10-n)b$ неотрицательно. Кроме того, $100-n⩾90$ и $a⩾1$. Значит, левая часть

$$(100-n)a+(10-n)b⩾90.$$

А правая часть не больше $9\cdot 9=81$, так как $n-1⩽9$ и $c⩽9$. Получаем $90⩽81$ — противоречие. Значит, $n⩾11$.

Пример. При $n=11$ равенство принимает вид $89a-b=10c$. При $a=1$ оно выполняется для $b=9$, $c=8$: $89-9=80$. Проверим число $198$:

$$198:(1+9+8)=198:18=11.$$

Значит, наименьшее натуральное значение частного равно $11$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $11$.