Четверо одноклассников играют в числа. Первый записал несколько… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2025 развёрнутое

Четверо одноклассников играют в числа. Первый записал несколько необязательно различных двузначных чисел. Второй нашёл их сумму, и у него получилось $231$ . Третий поменял местами единицы и десятки в каждом числе, записанном первым. Четвёртый нашёл сумму чисел, получившихся у третьего.

а) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в $4$ раза больше суммы, которую получил второй?

б) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в $3$ раза больше суммы, которую получил второй?

в) Какую наибольшую сумму может получить четвёртый?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть первый записал $n$ двузначных чисел $a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n}$ , где $a_{i}$ — цифры десятков (от $1$ до $9$ ), $b_{i}$ — цифры единиц (от $0$ до $9$ ). Обозначим

$A = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}, B = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} .$

Число $ab$ равно $10 a + b$ , поэтому второй получил

$(10 a_{1} + b_{1}) + \dots + (10 a_{n} + b_{n}) = 10 A + B = 231.$

После перестановки цифр число $ab$ превращается в $10 b + a$ (если $b = 0$ , получается однозначное число $a$ , и формула верна и тогда). Значит, четвёртый получил

$(10 b_{1} + a_{1}) + \dots + (10 b_{n} + a_{n}) = 10 B + A .$

а) Да, может. Найдём, какими должны быть $A$ и $B$ , если сумма четвёртого равна $4 \cdot 231 = 924$ :

${10 A + B = 231, A + 10 B = 924.$

Сложим уравнения: $11 (A + B) = 1155$ , то есть $A + B = 105$ . Вычтем из второго первое: $9 (B - A) = 693$ , то есть $B - A = 77$ . Отсюда $B = 91$ , $A = 14$ .

Подберём числа: семь чисел $16$ и семь чисел $17$ . Сумма цифр десятков $A = 14$ , сумма цифр единиц $B = 7 \cdot 6 + 7 \cdot 7 = 91$ . Проверим:

$7 \cdot 16 + 7 \cdot 17 = 112 + 119 = 231,$

$7 \cdot 61 + 7 \cdot 71 = 427 + 497 = 924 = 4 \cdot 231.$

б) Нет, не может. Заметим, что разность сумм четвёртого и второго всегда делится на $9$ :

$(10 B + A) - (10 A + B) = 9 (B - A) .$

Если бы четвёртый получил $3 \cdot 231 = 693$ , то $9 (B - A) = 693 - 231 = 462$ . Но $462$ не делится на $9$ (сумма цифр $12$ ), а $B - A$ — целое число. Противоречие.

в) Выразим $B$ из равенства $10 A + B = 231$ : $B = 231 - 10 A$ . Тогда сумма четвёртого

$10 B + A = 10 (231 - 10 A) + A = 2310 - 99 A .$

Она тем больше, чем меньше $A$ .

Оценка. Каждая цифра десятков не меньше $1$ , поэтому $A ⩾ n$ . Каждая цифра единиц не больше $9$ , поэтому $B ⩽ 9 n ⩽ 9 A$ . Подставим $B = 231 - 10 A$ :

$231 - 10 A ⩽ 9 A \Rightarrow 19 A ⩾ 231 \Rightarrow A ⩾ \frac{231}{19} = 12 \frac{3}{19} .$

Так как $A$ целое, $A ⩾ 13$ , и сумма четвёртого

$10 B + A = 2310 - 99 A ⩽ 2310 - 99 \cdot 13 = 2310 - 1287 = 1023.$

Пример. При $A = 13$ получаем $B = 231 - 130 = 101$ . Возьмём двенадцать чисел $18$ и число $15$ : $A = 12 \cdot 1 + 1 = 13$ , $B = 12 \cdot 8 + 5 = 101$ . Проверим:

$12 \cdot 18 + 15 = 216 + 15 = 231,$

$12 \cdot 81 + 51 = 972 + 51 = 1023.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $1023$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20