ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть на доске $L$ последовательных чисел. Будем пользоваться простым фактом: среди любых $k$ подряд идущих натуральных чисел ровно одно делится на $k$.

Оценим $L$. Пусть первое из пяти кратных $20$ равно $x$, тогда пятое равно $x+80$, и все числа от $x$ до $x+80$ записаны. Значит, $L⩾81$. С другой стороны, если $L⩾120$, то первые $120$ чисел разбиваются на $6$ групп по $20$ подряд идущих, и в каждой группе есть число, кратное $20$, — их уже шесть. Значит, $L⩽119$.

Если среди записанных чисел хотя бы шесть делятся на $k$, то между первым и шестым из них расстояние не меньше $5k$, поэтому $L⩾5k+1$.

а) Да, могло. Пусть записаны числа от $21$ до $126$. На $21$ делятся

$$21,42,63,84,105,126$$

— шесть чисел, больше пяти. На $20$ делятся $40,60,80,100,120$ — ровно пять ($20<21$, $140>126$).

б) Нет, не могло. Записано $L⩾81$ чисел. Первые $75$ из них разбиваются на $5$ групп по $15$ подряд идущих чисел, и в каждой группе есть число, кратное $15$. Значит, кратных $15$ не меньше пяти.

в) Оценка. Если больше пяти чисел делятся на $k$, то $5k+1⩽L⩽119$, откуда $5k⩽118$ и $k⩽23$.

Пример. Пусть записаны числа от $23$ до $138$. На $23$ делятся

$$23,46,69,92,115,138$$

— шесть чисел. На $20$ делятся $40,60,80,100,120$ — ровно пять ($20<23$, $140>138$). Значит, $k=23$ подходит.

Ответ: а) да; б) нет; в) $23$.