ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть синих карточек $s$, красных — $r$ ($s⩾1$, $r⩾1$). По условию наибольшее число на красных карточках равно $2s$, а наибольшее число на синих равно $r$. В частности, $r$ делится на $3$, ведь это число с синей карточки.

Нам понадобится подсчёт количества чисел. Наименьшее чётное число, большее $-72$, равно $-70$, а наименьшее кратное $3$ — это $-69$. Чётных чисел от $-70$ до чётного $M$ всего $\frac{M+70}{2}+1$, а кратных $3$ от $-69$ до кратного $3$ числа $M$ всего $\frac{M+69}{3}+1$.

а) Да, может. Пусть синяя карточка одна, на ней число $3$, а красных три, на них числа $-2,0,2$. Проверим условия:

• на синей карточке число делится на $3$, на красных — различные чётные числа, все числа больше $-72$;
• наибольшее красное число $2=2\cdot 1$ — удвоенное количество синих карточек;
• наибольшее синее число $3$ — количество красных карточек.

б) Да, может. Пусть синих карточек $50$, на них числа

$$-69,-66,-63,\dots ,75,78.$$

Их действительно $\frac{78+69}{3}+1=49+1=50$. Красных карточек возьмём $78$: на $77$ из них числа $-70,-68,\dots ,80,82$ (их $\frac{82+70}{2}+1=77$), а на последней — число $100$. Проверим:

• синие числа различны и делятся на $3$, красные различны и чётны, все числа больше $-72$;
• наибольшее красное число $100=2\cdot 50$;
• наибольшее синее число $78$ равно количеству красных карточек.

в) Оценка. Красные числа — $r$ различных чётных чисел от $-70$ до $2s$. Всего таких чётных чисел

$$\frac{2s+70}{2}+1=s+36,$$

поэтому $r⩽s+36$.

Синие числа — $s$ различных чисел, кратных $3$, от $-69$ до $r$. Всего таких чисел

$$\frac{r+69}{3}+1=\frac{r+72}{3},$$

поэтому $s⩽\frac{r+72}{3}$, то есть $r⩾3s-72$.

Сравним два неравенства:

$$3s-72⩽r⩽s+36\Rightarrow 3s-72⩽s+36\Rightarrow 2s⩽108\Rightarrow s⩽54.$$

Пример. При $s=54$ из неравенств получаем $90⩽r⩽90$, то есть $r=90$. Возьмём

• $54$ синие карточки с числами $-69,-66,\dots ,87,90$: их $\frac{90+69}{3}+1=53+1=54$;
• $90$ красных карточек с числами $-70,-68,\dots ,106,108$: их $\frac{108+70}{2}+1=89+1=90$.

Синие числа различны и делятся на $3$, красные различны и чётны, все больше $-72$. Наибольшее красное число $108=2\cdot 54$, наибольшее синее число $90$ равно количеству красных карточек. Все условия выполнены.

Ответ: а) да; б) да; в) $54$.