В трёхзначном числе abc (равно 100a+10b+c) произведение его цифр abc не равно 0. a) Может ли число abc быть в пять… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2026 развёрнутое

В трёхзначном числе $ab c$ (равно $100 a + 10 b + c$ ) произведение его цифр $ab c$ не равно 0.

a) Может ли число $ab c$ быть в пять раз больше произведения $ab c ?$

б) Может ли число $ab c$ быть в 120 раз больше произведения $ab c ?$

в) Найдите наименьшее возможное отношение числа $ab c$ к произведению $ab c .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Так как произведение цифр не равно нулю, все цифры $a, b, c$ — от $1$ до $9$ . Разделим число на произведение цифр почленно и сократим каждую дробь:

$\frac{ab c}{ab c} = \frac{100 a + 10 b + c}{ab c} = \frac{100 a}{ab c} + \frac{10 b}{ab c} + \frac{c}{ab c} = \frac{100}{b c} + \frac{10}{a c} + \frac{1}{ab} .$

Каждая дробь тем больше, чем меньше знаменатель, и тем меньше, чем больше знаменатель. Этим и воспользуемся.

а) Да, может. Возьмём число $175$ : произведение цифр $1 \cdot 7 \cdot 5 = 35$ , и

$\frac{175}{35} = 5.$

б) Нет, не может. Все цифры не меньше $1$ , поэтому $b c ⩾ 1$ , $a c ⩾ 1$ , $ab ⩾ 1$ и

$\frac{ab c}{ab c} = \frac{100}{b c} + \frac{10}{a c} + \frac{1}{ab} ⩽ 100 + 10 + 1 = 111 < 120.$

Отношение не превосходит $111$ , поэтому равным $120$ оно быть не может.

в) Оценка. Все цифры не больше $9$ , поэтому $b c ⩽ 81$ , $a c ⩽ 81$ , $ab ⩽ 81$ , и

$\frac{100}{b c} ⩾ \frac{100}{81}, \frac{10}{a c} ⩾ \frac{10}{81}, \frac{1}{ab} ⩾ \frac{1}{81} .$

Сложим:

$\frac{ab c}{ab c} ⩾ \frac{100 + 10 + 1}{81} = \frac{111}{81} = \frac{37}{27} .$

Пример. При $a = b = c = 9$ все три неравенства обращаются в равенства:

$\frac{999}{9 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{999}{729} = \frac{27 \cdot 37}{27 \cdot 27} = \frac{37}{27} .$

Значит, наименьшее отношение равно $\frac{37}{27}$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{37}{27}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20