ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пронумеруем числа по кругу: $a_1,a_2,\dots ,a_N$. Будем считать, что после $a_N$ снова идёт $a_1$, то есть номера берутся по кругу.

Сначала докажем, что ни одно число не делится на 3. Пусть $a_i$ делится на $3$. Возьмём четвёрку подряд идущих чисел $a_i,a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3}$. Её сумма делится на $3$, и $a_i$ делится на $3$, значит, на $3$ делится и сумма $a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}$. Но это сумма трёх подряд идущих чисел — противоречие с условием.

а) Среди чисел от $1$ до $340$ на $3$ делятся $3,6,\dots ,339$ — это $113$ чисел. Значит, не делятся на $3$ ровно $340-113=227$ чисел. Все числа в круге различны, не превосходят $340$ и не делятся на $3$, поэтому $N⩽227<240$. Значит, $N$ не может быть равным $240$.

б) Обозначим через $r_i$ остаток числа $a_i$ при делении на $3$. По доказанному каждый остаток равен $1$ или $2$.

Сравним две соседние четвёрки:

$$S_i=a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3},S_{i+1}=a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}.$$

Обе суммы делятся на $3$, значит, и их разность $S_{i+1}-S_i=a_{i+4}-a_i$ делится на $3$. Поэтому $r_{i+4}=r_i$: остатки повторяются через каждые четыре места.

Пусть $N=129$. Применим это свойство $32$ раза подряд: $r_i=r_{i+4}=r_{i+8}=\dots =r_{i+128}$. Но $128=129-1$, то есть сдвинуться по кругу на $128$ мест вперёд — то же самое, что сдвинуться на одно место назад. Значит, $r_{i-1}=r_i$ для любого $i$, и все остатки равны одному и тому же числу $r$.

Тогда сумма трёх подряд идущих чисел даёт тот же остаток, что и $3r$, то есть делится на $3$ — противоречие.

Точно так же разбирается любое нечётное $N$. Одно из чисел $N-1$ и $N+1$ делится на $4$. Если $N-1=4q$, то сдвиг на $4q$ мест — это шаг назад, и $r_{i-1}=r_i$. Если $N+1=4q$, то сдвиг на $4q$ мест — это шаг вперёд, и $r_{i+1}=r_i$. В обоих случаях все остатки равны, и мы получаем то же противоречие. Значит, количество чисел $N$ обязательно чётно, и $N=129$ невозможно.

в) Оценка. По пункту а) $N⩽227$, а по пункту б) $N$ чётно. Значит, $N⩽226$.

Пример. Расставим по кругу в порядке возрастания все числа от $1$ до $338$, не делящиеся на $3$:

$$1,2,4,5,7,8,\dots ,334,335,337,338.$$

Среди чисел от $1$ до $338$ на $3$ делятся $112$ чисел ($3\cdot 112=336$), поэтому в круге $338-112=226$ чисел. Все они различны и не превосходят $340$.

Остатки при делении на $3$ чередуются: $1,2,1,2,\dots ,1,2$. Чередование не нарушается и в месте стыка: после $338$ (остаток $2$) идёт $1$ (остаток $1$). Тогда:

• у любых трёх подряд идущих чисел остатки $1,2,1$ или $2,1,2$, сумма остатков $4$ или $5$ — сумма чисел на $3$ не делится;
• у любых четырёх подряд идущих чисел остатки $1,2,1,2$ в каком-то порядке, сумма остатков $6$ — сумма чисел делится на $3$.

Значит, $N=226$ возможно.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $226$.