ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

а) Да, можно:

$$34\stackrel{+12}{\to }46\stackrel{\text{вычеркнуть }6}{\to }4\stackrel{\cdot 4}{\to }16\stackrel{\text{вычеркнуть }6}{\to }1.$$

б) Докажем, что ни одно действие не меняет остаток числа при делении на $3$.

Умножение на $4$: разность $4n-n=3n$ делится на $3$, поэтому $4n$ и $n$ дают одинаковые остатки.

Прибавление $12$: разность $(n+12)-n=12$ делится на $3$.

Вычёркивание цифры $6$: число даёт при делении на $3$ тот же остаток, что и сумма его цифр. Вычеркнув цифру $6$, мы уменьшаем сумму цифр на $6$, то есть на число, кратное $3$, и остаток суммы цифр не меняется. Значит, не меняется и остаток самого числа.

Итак, все числа, которые появляются на доске, дают при делении на $3$ тот же остаток, что и исходное число. Число $35$ даёт остаток $2$ (сумма цифр $8$), а $60$ делится на $3$. Поэтому из $35$ получить $60$ нельзя.

в) Одно и то же число можно записать несколько раз (например, $1\to 4\to 16\to 1$), поэтому речь идёт о количестве различных чисел, меньших $2000$.

Оценка. Начальное число $1$ даёт остаток $1$ при делении на $3$, и по пункту б) все числа на доске дают остаток $1$, то есть имеют вид $3m+1$. Среди чисел, меньших $2000$, это

$$1,4,7,\dots ,1999(m=0,1,\dots ,666),$$

всего $667$ чисел. Значит, различных чисел, меньших $2000$, на доске не больше $667$.

Пример. Покажем, что можно получить все эти $667$ чисел. Сначала получим $1,4,7,10$ (число $1$ уже записано):

$$1\stackrel{\cdot 4}{\to }4;$$

$$4\stackrel{\cdot 4}{\to }16\stackrel{\cdot 4}{\to }64\stackrel{+12}{\to }76\stackrel{\text{вычеркнуть }6}{\to }7;$$

$$16\stackrel{+12}{\to }28\stackrel{+12}{\to }40\stackrel{\cdot 4}{\to }160\stackrel{\text{вычеркнуть }6}{\to }10.$$

Теперь к каждому из чисел $1,4,7,10$ будем много раз прибавлять $12$ и получим все числа вида

$$12k+1,12k+4,12k+7,12k+10.$$

Любое число вида $3m+1$ попадает в один из этих видов: запишем $m=4k+j$, где $j\in \{0;1;2;3\}$ — остаток $m$ при делении на $4$. Тогда

$$3m+1=12k+3j+1\in \{12k+1;12k+4;12k+7;12k+10\}.$$

Значит, на доске можно получить все $667$ чисел вида $3m+1$, меньших $2000$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $667$.