ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Сначала сделаем два наблюдения, которыми будем пользоваться во всех пунктах.

1. Никакие два написанных числа не идут подряд: иначе их разность равна $1$, а на $1$ делится любое число.

2. Пусть на доске есть число $a$. Если два написанных числа дают одинаковые остатки при делении на $a$, то их разность делится на $a$, то есть число $a$ — делитель разности, что запрещено. Значит, все написанные числа дают разные остатки при делении на $a$. Различных остатков всего $a$ (от $0$ до $a-1$), поэтому $N⩽a$. Иначе говоря, каждое число на доске не меньше $N$.

а) Нет, не могут. Числа $18$ и $19$, а также $19$ и $20$ идут подряд, их разность $1$, а на $1$ делится любое число на доске. Разность чисел $18$ и $20$ равна $2$, и число $18$ на доске делится на $2$. Значит, никакие два из чисел $18,19,20$ одновременно написаны быть не могут.

б) Нет, не может. При делении на $17$ возможны только $17$ остатков: $0,1,\dots ,16$. Если чисел $25>17$, то по принципу Дирихле хотя бы два из них дают одинаковый остаток при делении на $17$. Их разность делится на $17$, то есть написанное число $17$ — делитель этой разности. Это запрещено условием.

в) Оценка. Предположим, что $N⩾34$. По наблюдению 2 каждое число на доске не меньше $N$, то есть не меньше $34$. Значит, все числа лежат среди $34,35,\dots ,99$ — это $66$ чисел. Разобьём их на $33$ пары соседних чисел:

$$(34;35),(36;37),\dots ,(98;99).$$

Чисел на доске не меньше $34$, а пар $33$, поэтому два числа попадут в одну пару, то есть будут идти подряд. Это противоречит наблюдению 1. Значит, $N⩽33$.

Пример. Напишем все нечётные числа от $35$ до $99$:

$$35,37,39,\dots ,97,99.$$

Их $\frac{99-35}{2}+1=33$. Возьмём любые два из них $a<b$. Разность $d=b-a$ чётна, и $2⩽d⩽99-35=64$.

Ни одно написанное число не делится на $d$: все они нечётные, а нечётное число не может делиться на чётное.

Ни одно написанное число не является делителем $d$. Пусть нечётное $m$ делит чётное $d$, то есть $d=mq$. Так как $m$ нечётно, а $d$ чётно, множитель $q$ чётен, значит, $q⩾2$ и $m⩽\frac{d}{2}⩽32$. А все написанные числа не меньше $35$.

Условие выполнено, значит, $N=33$ возможно.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $33$.