ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть на доске записаны числа $a_1<a_2<a_3<\dots$ Сначала докажем вспомогательный факт: если чисел хотя бы два, то $a_2⩾9$.

Числа натуральные и различные, поэтому $a_1⩽a_2-1$ и $a_1{a}_2⩽(a_2-1)a_2$. Если бы $a_2⩽8$, то $a_1{a}_2⩽7\cdot 8=56<60$, что противоречит условию. Значит, $a_2⩾9$.

а) Да, может. Пример: $7,9,10,11,12$. Выпишем все десять попарных произведений:

$$7\cdot 9=63,7\cdot 10=70,7\cdot 11=77,7\cdot 12=84,9\cdot 10=90,$$

$$9\cdot 11=99,9\cdot 12=108,10\cdot 11=110,10\cdot 12=120,11\cdot 12=132.$$

Все они больше $60$ и меньше $140$, а числа различны и натуральны.

б) Нет, не может. Предположим, что на доске шесть чисел $a_1<a_2<\dots <a_6$. По доказанному $a_2⩾9$. Числа натуральные и различные, поэтому каждое следующее хотя бы на $1$ больше предыдущего:

$$a_5⩾a_2+3⩾12,a_6⩾a_5+1⩾13.$$

Тогда $a_5{a}_6⩾12\cdot 13=156>140$ — противоречие с условием.

в) Пусть на доске четыре числа $a_1<a_2<a_3<a_4$. Тогда $a_3⩾a_2+1$, $a_4⩾a_2+2$ и $a_2⩾9$.

Оценка. Разберём случаи в зависимости от $a_2$.

Если $a_2=9$, то $9a_1>60$, то есть $a_1>6\frac{2}{3}$ и $a_1⩾7$. Сумма не меньше $7+9+10+11=37$.

Если $a_2=10$, то $10a_1>60$, то есть $a_1⩾7$. Сумма не меньше $7+10+11+12=40$.

Если $a_2⩾11$, то $a_1⩾1$, $a_3⩾12$, $a_4⩾13$, и сумма не меньше $1+11+12+13=37$.

Во всех случаях сумма не меньше $37$.

Пример. Числа $7,9,10,11$. Их попарные произведения

$$63,70,77,90,99,110$$

лежат между $60$ и $140$, а сумма равна $7+9+10+11=37$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $37$.