ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Обозначим числа Коли через $a_1,a_2,\dots ,a_{20}$, тогда Петя записал числа $a_1^2,a_2^2,\dots ,a_{20}^2$. Среднее арифметическое трёх чисел равно их сумме, делённой на $3$. Оно целое тогда и только тогда, когда сумма делится на $3$. Значит, для любых трёх чисел Пети

$$a_i^2+a_j^2+a_k^2⋮3.$$

Выясним, какие остатки при делении на $3$ дают квадраты. Если $x=3m$, то $x^2=9m^2$ делится на $3$. Если $x=3m\pm 1$, то $x^2=9m^2\pm 6m+1$ даёт остаток $1$:

$$\begin{array}{cccc}\text{Остаток }x& 0& 1& 2\\ \text{Остаток }{x}^2& 0& 1& 1\end{array}$$

Докажем, что числа Коли либо все делятся на $3$, либо все не делятся. Пусть число $a$ Коли не делится на $3$, а число $b$ делится. Возьмём любое третье число $c$ Коли (всего чисел $20$, так что оно есть). Остатки квадратов: $a^2$ даёт $1$, $b^2$ даёт $0$, $c^2$ даёт $0$ или $1$. Тогда сумма $a^2+b^2+c^2$ даёт остаток $1$ или $2$ и на $3$ не делится — противоречие.

Теперь используем число $625$. Если его записал Коля, то у Коли есть число $625$, а оно не делится на $3$ (сумма цифр $13$). Если его записал Петя, то $625=25^2$, и у Коли есть число $25$, тоже не кратное $3$. В обоих случаях у Коли есть число, не делящееся на $3$, значит, ни одно число Коли не делится на $3$.

Тогда и ни одно число Пети не делится на $3$: квадрат числа, не кратного $3$, даёт остаток $1$. Итак, ни одно число на доске не делится на 3.

Верно и обратное: если ни одно из чисел Коли не делится на $3$, то каждый квадрат даёт остаток $1$, сумма любых трёх квадратов даёт остаток $1+1+1=3$, то есть делится на $3$, и условие про среднее выполнено. Этим мы будем пользоваться при проверке примеров.

а) Заметим, что $10816=104^2$, и $104$ не делится на $3$ ($104=3\cdot 34+2$). Приведём пример. Пусть Коля записал $19$ первых натуральных чисел, не кратных $3$, и число $104$:

$$1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,104.$$

Проверим все условия:

• чисел $20$, все они натуральные, различные и меньше $1000$;
• ни одно не делится на $3$, поэтому все квадраты дают остаток $1$, сумма любых трёх квадратов делится на $3$, и среднее любых трёх чисел Пети — целое;
• среди чисел Коли есть $25$, значит, Петя записал $25^2=625$ — число $625$ на доске есть;
• среди чисел Коли есть $104$, значит, Петя записал $104^2=10816$.

Значит, число $10816$ может быть записано на доске.

б) Сумма цифр числа $93636$ равна $9+3+6+3+6=27$, поэтому оно делится на $3$. Но мы доказали, что ни одно число на доске на $3$ не делится. Значит, число $93636$ записано быть не может.

в) Сначала поймём, какие числа на доске могут совпадать. Числа Коли различны по условию. Числа Пети — квадраты различных натуральных чисел, поэтому тоже различны. Значит, одинаковые числа — это всегда число Коли и число Пети, то есть число Коли $x$, равное квадрату $y^2$ какого-то числа Коли $y$. Каждое значение встречается на доске не больше двух раз, поэтому количество пар одинаковых чисел равно количеству таких чисел $y$ Коли, что $y^2$ тоже есть среди чисел Коли.

Обозначим через $A$ множество таких чисел $y$, а через $P$ — их количество (это и есть число пар). Пусть $B$ — множество их квадратов $y^2$, $y\in A$. В $B$ тоже $P$ чисел, и все они — числа Коли.

Оценка. Все числа из $A$ и из $B$ записаны Колей, поэтому вместе их не больше $20$. Если какие-то числа лежат и в $A$, и в $B$, то при подсчёте они учтены дважды:

$$20⩾(\text{количество чисел в }A\text{ или }B)=2P-(\text{количество общих чисел }A\text{ и }B).$$

Найдём, какие числа $z$ могут быть общими. Так как $z\in A$, число $z^2$ записано Колей, то есть $z^2<1000$ и $z⩽31$ (так как $32^2=1024$). Так как $z\in B$, число $z$ — точный квадрат. Точные квадраты, не превосходящие $31$: $1,4,9,16,25$. Число $9$ делится на $3$ и не подходит. Значит, общих чисел не больше четырёх (это могут быть только $1,4,16,25$), и

$$20⩾2P-4\Rightarrow 2P⩽24\Rightarrow P⩽12.$$

Пример. Пусть Коля записал числа

$$1;2,4,16,256;5,25,625;7,49;8,64;10,100;11,121;13,169;14,196.$$

Их $1+4+3+2\cdot 6=20$, все различны и меньше $1000$, число $625$ на доске есть. Ни одно из них не делится на $3$ (у $256,625,49,64,100,121,169,196$ суммы цифр $13,13,13,10,1,4,16,16$, остальные числа малы и не кратны $3$), поэтому условие про среднее выполнено. Петя записал

$$1,4,16,256,65536,25,625,390625,49,2401,64,4096,100,10000,121,14641,169,28561,196,38416.$$

Пары одинаковых чисел (число Коли и число Пети):

$$1=1^2,4=2^2,16=4^2,256=16^2,25=5^2,625=25^2,$$

$$49=7^2,64=8^2,100=10^2,121=11^2,169=13^2,196=14^2.$$

Всего $12$ пар — оценка достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $12$.