Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1,3,5,7 или 9. В наборе есть хотя бы одно… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2027 развёрнутое

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр $1, 3, 5, 7$ или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:

– к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;

– вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

a) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора?

б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?

в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Однозначное число $k$ после приписывания своей цифры превращается в $k k = 11 k$ . Двузначное число $ab = 10 a + b$ заменяется на $\frac{a + b}{2}$ . Все цифры чисел первого набора нечётные.

а) Да, может. Пусть первый набор — $17, 11, 1$ . Тогда второй набор:

$\frac{1 + 7}{2} = 4, \frac{1 + 1}{2} = 1, 11.$

Сумма первого набора $17 + 11 + 1 = 29$ , второго $4 + 1 + 11 = 16$ , и $29 - 16 = 13$ .

б) Да, может. Пусть первый набор — $33$ и $7$ . Тогда второй набор — $\frac{3 + 3}{2} = 3$ и $77$ . Сумма первого набора $33 + 7 = 40$ , второго $3 + 77 = 80 = 2 \cdot 40$ .

в) Пусть в первом наборе $n$ однозначных чисел с суммой $S_{1}$ и $n$ двузначных чисел $a_{1} b_{1}, \dots, a_{n} b_{n}$ . Обозначим $A = a_{1} + \dots + a_{n}$ — сумму цифр десятков, $B = b_{1} + \dots + b_{n}$ — сумму цифр единиц.

Сумма первого набора равна $S_{1} + 10 A + B$ , сумма второго — $11 S_{1} + \frac{A + B}{2}$ . Отношение:

$R = \frac{S _{1} + 10 A + B}{11 S _{1} + \frac{A + B}{2}} = \frac{2 S _{1} + 20 A + 2 B}{22 S _{1} + A + B} .$

Поймём, какой набор выгоден. Однозначные числа уменьшают отношение: число $k$ добавляет $k$ к первой сумме и $11 k$ ко второй, поэтому их нужно делать как можно меньше. Двузначные числа выгодно брать с большой цифрой десятков и маленькой цифрой единиц: из $91$ получается всего $5$ . Набор $1, 91$ даёт отношение $\frac{92}{16} = \frac{23}{4}$ . Докажем, что больше получить нельзя.

Оценка. Знаменатель положителен, поэтому

$R ⩽ \frac{23}{4} \Leftrightarrow 4 (2 S_{1} + 20 A + 2 B) ⩽ 23 (22 S_{1} + A + B) \Leftrightarrow \Leftrightarrow 8 S_{1} + 80 A + 8 B ⩽ 506 S_{1} + 23 A + 23 B \Leftrightarrow 57 A ⩽ 498 S_{1} + 15 B .$

Каждая цифра десятков не больше $9$ , поэтому $A ⩽ 9 n$ и $57 A ⩽ 513 n$ . Каждое однозначное число не меньше $1$ , поэтому $S_{1} ⩾ n$ ; каждая цифра единиц не меньше $1$ , поэтому $B ⩾ n$ . Тогда

$498 S_{1} + 15 B ⩾ 498 n + 15 n = 513 n ⩾ 57 A .$

Значит, всегда $R ⩽ \frac{23}{4}$ .

Пример. Все оценки обращаются в равенства при $n = 1$ , $S_{1} = 1$ , $A = 9$ , $B = 1$ , то есть для набора $1, 91$ . Числа различны, однозначных и двузначных поровну, все цифры нечётные. Второй набор — $11$ и $\frac{9 + 1}{2} = 5$ , и

$\frac{1 + 91}{11 + 5} = \frac{92}{16} = \frac{23}{4} = 5, 75.$

Значит, наибольшее отношение равно $5, 75$ .

Ответ: а) да; б) да; в) $5, 75$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20