ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Запишем трёхзначное число в виде $\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a,b,c$ — цифры и $a\ne 0$. Сумма его цифр равна $a+b+c$, поэтому в результате операции получается

$$\frac{(100a+10b+c)-(a+b+c)}{3}=\frac{99a+9b}{3}=33a+3b.$$

Результат всегда целый и не зависит от последней цифры $c$.

а) Нужно, чтобы $33a+3b=150$, то есть $11a+b=50$, откуда $b=50-11a$. Так как $0⩽b⩽9$, получаем $41⩽11a⩽50$, то есть $a=4$ и $b=6$. Возьмём, например, число $460$. Сумма его цифр $4+6+0=10$, и

$$\frac{460-10}{3}=\frac{450}{3}=150.$$

Значит, могло.

б) Результат операции $33a+3b=3(11a+b)$ всегда делится на $3$. Сумма цифр числа $142$ равна $7$, поэтому $142$ на $3$ не делится. Значит, не могло.

в) Результат $3(11a+b)$ определяется парой первых двух цифр $(a;b)$. У чисел от $500$ до $799$ цифра $a$ принимает значения $5,6,7$, а $b$ — значения от $0$ до $9$: это $3\cdot 10=30$ пар. Число $800$ даёт ещё пару $(8;0)$. Всего $31$ пара, значит, различных результатов не больше $31$.

Покажем, что разные пары дают разные результаты. Если $33a+3b=33x+3y$, то

$$11(a-x)=y-b.$$

Левая часть делится на $11$, а разность цифр $y-b$ по модулю не больше $9$, поэтому $y-b=0$. Тогда и $a-x=0$, то есть пары совпадают.

Значит, все $31$ пара дают различные результаты, и различных чисел получается ровно $31$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $31$.