На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 4, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
a) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 2 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Приписать справа цифру к числу — значит получить , приписать цифру — получить .
Пусть в первой группе чисел с суммой , во второй — чисел с суммой , в третьей — чисел с суммой ; . Сумма чисел была , а стала
Каждое число не меньше , поэтому , , .
а) Да, могла. Пусть на доске числа : к приписали , к — , а оставили. Получили . Сумма была , стала .
б) Предположим, что сумма увеличилась в раз:
Но . Противоречие. Значит, не могла.
в) Сумма увеличилась в раз:
Оценка. Пусть всего чисел . Числа различные натуральные, поэтому их сумма не меньше суммы первых натуральных чисел:
Учитывая , получаем
С другой стороны, оценим левую часть сверху, используя и :
Значит,
Корни квадратного трёхчлена , поэтому
так как . Число целое, значит, .
Пример. Пусть на доске чисел: . Число оставим без изменений (третья группа), к числу припишем (первая группа), к остальным девяти числам припишем (вторая группа). Получим
Сумма была . Сумма стала . Значит, могло быть чисел.
Ответ: а) да; б) нет; в) .