ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Упорядочим числа по возрастанию: $a_1<a_2<\dots <a_{10}$. По условию

$$a_1+a_2+\dots +a_6=6\cdot 5=30,a_5+a_6+\dots +a_{10}=6\cdot 15=90.$$

Числа $a_5$ и $a_6$ входят в обе суммы, поэтому сумма всех десяти чисел равна

$$a_1+\dots +a_{10}=30+90-(a_5+a_6)=120-(a_5+a_6).$$

а) Предположим, что $a_1=3$. Тогда шесть наименьших чисел — различные натуральные числа, не меньшие $3$, и

$$a_1+\dots +a_6⩾3+4+5+6+7+8=33>30.$$

Противоречие. Значит, не может.

б) Предположим, что среднее всех чисел равно $11$. Тогда их сумма $110$, и $a_5+a_6=120-110=10$. Так как $a_5<a_6$, получаем $2a_5<10$, то есть $a_5⩽4$. Но перед $a_5$ стоят четыре различных натуральных числа $a_1<a_2<a_3<a_4$, меньших $a_5⩽4$, а натуральных чисел, меньших $4$, только три. Противоречие. Значит, не может.

в) Сумма всех чисел равна $120-(a_5+a_6)$, поэтому она наибольшая, когда $s=a_5+a_6$ наименьшее. Заметим, что $a_1+a_2+a_3+a_4=30-s$.

Оценка. Разберём три случая.

Если $a_5⩽6$, то $a_4⩽5$, $a_3⩽4$, $a_2⩽3$, $a_1⩽2$, поэтому $a_1+a_2+a_3+a_4⩽2+3+4+5=14$ и $s=30-(a_1+\dots +a_4)⩾16$.

Если $a_5=7$, то $a_6⩾8$ и $s⩾15$.

Если $a_5⩾8$, то $a_6⩾9$ и $s⩾17$.

Во всех случаях $s⩾15$, поэтому сумма всех чисел не больше $120-15=105$, а среднее арифметическое не больше $10,5$.

Пример. Возьмём $a_5=7$, $a_6=8$. Тогда $a_1+a_2+a_3+a_4=30-15=15$ — подойдут числа $2,3,4,6$. Сумма четырёх наибольших $a_7+a_8+a_9+a_{10}=90-15=75$ — подойдут $9,10,11,45$. Получаем набор

$$2,3,4,6,7,8,9,10,11,45.$$

Числа различные и натуральные. Шесть наименьших: $2+3+4+6+7+8=30$, среднее $5$. Шесть наибольших: $7+8+9+10+11+45=90$, среднее $15$. Сумма всех чисел $105$, среднее $10,5$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $10,5$.