Пусть {an} — последовательность натуральных чисел. Обозначим M<C(an)… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Последовательности и прогрессии сложная 2022 развёрнутое

Пусть ${a_{n}}$ — последовательность натуральных чисел. Обозначим $M_{< C} (a_{n})$ — среднее арифметическое всех членов последовательности ${a_{n}}$ , которые меньше некоторого числа $C$ . Число $C$ лежит между наибольшим и наименьшим членами последовательности. Обозначим $M_{⩾ C} (a_{n})$ — среднее арифметическое всех членов последовательности ${a_{n}}$ , которые больше или равны $C$ . Среднее арифметическое одного числа равно самому числу. Затем к каждому члену последовательности ${a_{n}}$ прибавили $4$ и получили новую последовательность, которую обозначили ${a_{n} + 4}$ .

а) Существует ли последовательность ${a_{n}}$ , состоящая из трёх членов, для которой $M_{< 79} (a_{n} + 4) < M_{< 79} (a_{n})$ ?

б) Существует ли последовательность ${a_{n}}$ , состоящая из трёх членов, для которой $M_{< 79} (a_{n} + 4) < M_{< 79} (a_{n})$ и $M_{⩾ 79} (a_{n} + 4) < M_{⩾ 79} (a_{n})$ ?

в) Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности ${a_{n}}$ равняется $84$ , $M_{⩾ 79} (a_{n}) = 94$ , $M_{< 79} (a_{n}) = 70$ , $M_{⩾ 79} (a_{n} + 4) = 96$ и $M_{< 79} (a_{n} + 4) = 72$ . Какое наименьшее число членов может быть в последовательности ${a_{n}}$ ?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

а) Да, существует. Возьмём последовательность ${1; 78; 80}$ . Число $79$ лежит между её наименьшим и наибольшим членами. Члены, меньшие $79$ , — это $1$ и $78$ , поэтому

$M_{< 79} (a_{n}) = \frac{1 + 78}{2} = 39, 5.$

После прибавления $4$ получаем ${5; 82; 84}$ (число $79$ снова лежит между наименьшим и наибольшим членами). Меньше $79$ теперь только $5$ , поэтому $M_{< 79} (a_{n} + 4) = 5 < 39, 5$ .

Так получилось потому, что член $78$ после прибавления $4$ перешёл в группу «не меньше $79$ ».

б) Да, существует. Возьмём ${1; 78; 1000}$ , тогда ${a_{n} + 4} = {5; 82; 1004}$ . Нижняя группа: как в пункте а), $M_{< 79} (a_{n}) = 39, 5$ , а $M_{< 79} (a_{n} + 4) = 5$ . Верхняя группа:

$M_{⩾ 79} (a_{n}) = 1000, M_{⩾ 79} (a_{n} + 4) = \frac{82 + 1004}{2} = 543 < 1000.$

Оба неравенства выполнены: член $78$ ушёл из нижней группы, где был наибольшим, и попал в верхнюю, где стал наименьшим.

в) Пусть в последовательности $N$ членов, из них $k$ членов не меньше $79$ , а $N - k$ меньше $79$ .

Оценка. Сумму всех членов посчитаем двумя способами: через общее среднее и через средние двух групп.

$84 N = 94 k + 70 (N - k) \Leftrightarrow 14 N = 24 k \Leftrightarrow 7 N = 12 k .$

Значит, $7 N$ делится на $12$ , а так как $7$ и $12$ взаимно просты, $N$ делится на $12$ . Поэтому $N ⩾ 12$ .

Пример. Построим последовательность из $12$ членов. Тогда $k = \frac{7 \cdot 12}{12} = 7$ членов не меньше $79$ и $5$ членов меньше $79$ .

Для новой последовательности общее среднее равно $84 + 4 = 88$ . Пусть в ней $t$ членов не меньше $79$ , тогда

$88 N = 96 t + 72 (N - t) \Leftrightarrow 16 N = 24 t \Leftrightarrow t = \frac{2 N}{3} = 8.$

Значит, ровно один член нижней группы (число от $75$ до $78$ ) после прибавления $4$ переходит в верхнюю. Возьмём верхнюю группу из семи чисел $94$ (среднее $94$ ). Новая верхняя группа — семь чисел $98$ и число $x + 4$ , её среднее должно быть $96$ : $7 \cdot 98 + x + 4 = 8 \cdot 96$ , откуда $x + 4 = 82$ , $x = 78$ . Сумма нижней группы равна $5 \cdot 70 = 350$ , на остальные четыре члена приходится $350 - 78 = 272$ , возьмём их равными $68$ .

Получаем последовательность из семи чисел $94$ , числа $78$ и четырёх чисел $68$ . Проверим все условия:

$\frac{7 \cdot 94 + 78 + 4 \cdot 68}{12} = \frac{658 + 78 + 272}{12} = \frac{1008}{12} = 84;$

$M_{⩾ 79} (a_{n}) = 94, M_{< 79} (a_{n}) = \frac{78 + 4 \cdot 68}{5} = \frac{350}{5} = 70.$

После прибавления $4$ получаем семь чисел $98$ , число $82$ и четыре числа $72$ :

$M_{⩾ 79} (a_{n} + 4) = \frac{7 \cdot 98 + 82}{8} = \frac{768}{8} = 96, M_{< 79} (a_{n} + 4) = 72.$

Число $79$ лежит между наименьшим и наибольшим членами в обеих последовательностях. Все условия выполнены, значит, наименьшее число членов равно $12$ .

Ответ: а) да; б) да; в) $12$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20