ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

а) Да, можно. Возьмём $13$ монет по $2$ рубля и все $27$ монет по $5$ рублей:

$$13\cdot 2+27\cdot 5=26+135=161.$$

б) Предположим, что сумму $162$ набрать можно. Сумма двухрублёвых монет всегда чётна, а $162$ — чётное число, поэтому сумма пятирублёвых монет тоже должна быть чётной. Значит, пятирублёвых монет взято чётное число, то есть не больше $26$. Тогда наибольшая сумма, которую можно набрать, равна

$$26\cdot 5+14\cdot 2=130+28=158<162.$$

Противоречие. Значит, нельзя.

в) Оценка. Все имеющиеся монеты в сумме дают

$$14\cdot 2+27\cdot 5=28+135=163.$$

Чтобы набрать $170$ рублей, нужно, чтобы общая сумма была не меньше $170$. Значит, рублёвых монет нужно добавить не меньше $170-163=7$.

Пример. Добавим $7$ монет по $1$ рублю и покажем, что теперь можно набрать любую сумму от $1$ до $170$. Разложим все монеты на $17$ кучек по $10$ рублей:

$26$ монет по $5$ рублей — на $13$ кучек по две монеты;

$10$ монет по $2$ рубля — на $2$ кучки по пять монет;

$2$ монеты по $2$ рубля и $6$ монет по $1$ рублю — в одну кучку;

оставшиеся $1$ монету в $5$ рублей, $2$ монеты по $2$ рубля и $1$ монету в $1$ рубль — в последнюю, семнадцатую кучку.

Проверим, что использованы все монеты: пятирублёвых $26+1=27$, двухрублёвых $10+2+2=14$, рублёвых $6+1=7$.

Сумму $170$ набираем всеми монетами. Любую сумму $S<170$ запишем как $S=10q+r$, где $0⩽q⩽16$ и $0⩽r⩽9$. Часть $10q$ набираем $q$ целыми кучками из первых шестнадцати, а остаток $r$ — монетами последней кучки ($5$, $2$, $2$, $1$):

$$\begin{array}{rlrlrl}& 1=1,& & 2=2,& & 3=2+1,\\ & 4=2+2,& & 5=5,& & 6=5+1,\\ & 7=5+2,& & 8=5+2+1,& & 9=5+2+2.\end{array}$$

Значит, $7$ монет достаточно, и наименьшее количество равно $7$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $7$.