ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала докажем вспомогательное утверждение, которым будем пользоваться в пунктах б) и в).

Лемма. Если $\frac{a}{b}$ — правильная несократимая дробь, то дробь $\frac{2a+b}{3a+b}$ тоже правильная и несократимая.

Дробь правильная, так как $a>0$ и потому $2a+b<3a+b$. Несократимость докажем алгоритмом Евклида: НОД двух чисел не меняется, если из одного вычесть кратное другого.

$$\text{НОД}(2a+b,3a+b)=\text{НОД}(2a+b,a)=\text{НОД}(b,a)=1.$$

Сначала мы вычли $2a+b$ из $3a+b$, затем вычли $2a$ из $2a+b$.

а) Да, можно. Сделаем три хода:

$$\frac{1}{4}⟶\frac{2\cdot 1+4}{3\cdot 1+4}=\frac{6}{7}⟶\frac{2\cdot 6+7}{3\cdot 6+7}=\frac{19}{25}⟶\frac{2\cdot 19+25}{3\cdot 19+25}=\frac{63}{82}.$$

Все промежуточные дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{19}{25}$ правильные и несократимые, так что каждый ход допустим.

б) Предположим, что за два хода получилась дробь $\frac{11}{16}$. Пусть после первого хода была дробь $\frac{p}{q}$. По лемме она правильная и несократимая, а дробь $\frac{2p+q}{3p+q}$, полученная из неё, тоже несократима.

Две несократимые дроби равны только тогда, когда у них равны числители и знаменатели. Значит,

$$\{\begin{array}{l}2p+q=11,\\ 3p+q=16.\end{array}$$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $p=5$, тогда $q=11-10=1$. Но дробь $\frac{5}{1}$ неправильная, а по лемме после хода всегда получается правильная дробь. Противоречие. Значит, нельзя.

в) Найдём, что получается из правильной несократимой дроби $\frac{a}{b}$ за два хода:

$$\frac{a}{b}⟶\frac{2a+b}{3a+b}⟶\frac{2(2a+b)+(3a+b)}{3(2a+b)+(3a+b)}=\frac{7a+3b}{9a+4b}.$$

По лемме, применённой дважды, полученная дробь несократима. Поэтому несократимая дробь $\frac{c}{d}$ получается за два хода тогда и только тогда, когда найдутся натуральные $a<b$ с $\text{НОД}(a,b)=1$, для которых

$$\{\begin{array}{l}c=7a+3b,\\ d=9a+4b.\end{array}$$

Выразим $a$ и $b$ через $c$ и $d$:

$$4c-3d=(28a+12b)-(27a+12b)=a,7d-9c=(63a+28b)-(63a+27b)=b.$$

Итак, по дроби $\frac{c}{d}$ исходная дробь восстанавливается однозначно: $a=4c-3d$, $b=7d-9c$. Выпишем все требования к ней.

$a⩾1$: $4c>3d$, то есть $\frac{c}{d}>\frac{3}{4}$.

$b⩾1$: $7d>9c$, то есть $\frac{c}{d}<\frac{7}{9}$.

$a<b$: $4c-3d<7d-9c$, то есть $13c<10d$ и $\frac{c}{d}<\frac{10}{13}$.

Несократимость: тем же алгоритмом Евклида

$$\text{НОД}(c,d)=\text{НОД}(7a+3b,9a+4b)=\text{НОД}(7a+3b,2a+b)=\text{НОД}(a,2a+b)=\text{НОД}(a,b),$$

поэтому при несократимой $\frac{c}{d}$ дробь $\frac{a}{b}$ тоже несократима — это требование выполняется само.

Сравним границы: $\frac{10}{13}<\frac{7}{9}$, так как $10\cdot 9=90<91=7\cdot 13$, и $\frac{3}{4}<\frac{10}{13}$, так как $3\cdot 13=39<40=4\cdot 10$. Значит, все требования сводятся к одному:

$$\frac{3}{4}<\frac{c}{d}<\frac{10}{13}.$$

Оценка. Любую несократимую дробь $\frac{c}{d}$ из промежутка $\left(\frac{3}{4};\frac{10}{13}\right)$ можно получить за два хода: числа $a=4c-3d$ и $b=7d-9c$ натуральные, $a<b$, дробь $\frac{a}{b}$ несократима, и два хода дают из неё $\frac{7a+3b}{9a+4b}=\frac{c}{d}$. Значит, искомая дробь, большая $0,75$, не меньше $\frac{10}{13}$.

Пример. Дробь $\frac{10}{13}$ несократима и больше $\frac{3}{4}$. Если бы её можно было получить, то исходная дробь была бы $a=4\cdot 10-3\cdot 13=1$, $b=7\cdot 13-9\cdot 10=1$, то есть $\frac{1}{1}$ — а она не является правильной. Значит, $\frac{10}{13}$ получить нельзя.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{10}{13}$.