ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Общая сумма всех монет равна

$$2N+5(1000-N)=5000-3N.$$

Условие «любые $300$ монет дают не меньше четверти общей суммы» выполняется тогда и только тогда, когда это верно для набора из $300$ монет с наименьшей суммой.

Найдём эту наименьшую сумму. Если среди $300$ взятых монет $x$ двухрублёвых, то их сумма равна

$$2x+5(300-x)=1500-3x.$$

Она тем меньше, чем больше $x$. Значит, наименьшая сумма получается, когда двухрублёвых монет взято как можно больше: $x=\min (N;300)$.

а) Пусть $N=100$. Тогда в любом наборе из $300$ монет $x⩽100$, и его сумма не меньше

$$1500-3\cdot 100=1200.$$

Четверть общей суммы равна

$$\frac{5000-3\cdot 100}{4}=\frac{4700}{4}=1175.$$

Так как $1200>1175$, любые $300$ монет дают не меньше четверти общей суммы. Значит, $N$ может равняться $100$.

б) Пусть $N=500$. Возьмём $300$ двухрублёвых монет, их сумма равна $600$. Четверть общей суммы равна

$$\frac{5000-3\cdot 500}{4}=\frac{3500}{4}=875.$$

Так как $600<875$, условие нарушено. Значит, $N$ не может равняться $500$.

в) Разберём два случая.

Пусть $1⩽N⩽300$. Тогда наименьшая сумма $300$ монет получается, когда взяты все $N$ двухрублёвых монет, и равна $1500-3N$. Условие:

$$1500-3N⩾\frac{5000-3N}{4}\iff 6000-12N⩾5000-3N\iff 9N⩽1000.$$

Так как $9\cdot 111=999$, а $9\cdot 112=1008$, получаем $N⩽111$. Подходят все $N$ от $1$ до $111$ — это $111$ значений.

Пусть $300<N⩽999$. Тогда можно взять $300$ двухрублёвых монет, и наименьшая сумма равна $600$. Условие:

$$600⩾\frac{5000-3N}{4}\iff 2400⩾5000-3N\iff 3N⩾2600.$$

Так как $3\cdot 866=2598<2600$, а $3\cdot 867=2601$, получаем $N⩾867$. Подходят все $N$ от $867$ до $999$ — это $999-867+1=133$ значения.

Всего $N$ может принимать $111+133=244$ различных значения.

Ответ: а) да; б) нет; в) $244$.