ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Ключевое наблюдение: среди пяти чисел не может быть двух чётных, иначе у них был бы общий делитель $2$. Значит, чётных чисел не больше одного.

а) Да, может. Например,

$$1+2+5+7+11=26.$$

Числа различны. Единица взаимно проста с любым числом, а $2,5,7,11$ — различные простые числа, поэтому никакие два числа набора не имеют общего делителя, большего $1$.

б) Предположим, что сумма равна $23$. Если среди чисел ровно одно чётное, то остальные четыре нечётных дают чётную сумму, и вся сумма чётна — не $23$. Значит, чётных чисел нет и все пять чисел нечётные. Пять различных нечётных натуральных чисел в сумме дают не меньше

$$1+3+5+7+9=25>23.$$

Противоречие. Значит, сумма не может быть равна $23$.

в) Оценка. Чётных чисел не больше одного, поэтому нечётных хотя бы четыре. Четыре различных нечётных натуральных числа в сумме дают не меньше $1+3+5+7=16$. Пятое число отлично от них:

если оно чётное, то оно не меньше $2$, и вся сумма не меньше $16+2=18$;

если оно нечётное, то все пять чисел нечётные, и сумма, как в пункте б), не меньше $25$.

В любом случае сумма не меньше $18$.

Пример. Набор $1,2,3,5,7$ состоит из единицы и различных простых чисел, поэтому никакие два его числа не имеют общего делителя, большего $1$. Сумма равна $1+2+3+5+7=18$.

Значит, наименьшая сумма равна $18$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $18$.