ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Обозначим $t=4m-m^2$; это знаменатель всех членов, поэтому $t\ne 0$. Тогда

$$a_1=\frac{t-11}{t},a_2=\frac{t-13}{t},a_n=\frac{-14}{t}.$$

Найдём разность прогрессии:

$$d=a_2-a_1=\frac{t-13}{t}-\frac{t-11}{t}=-\frac{2}{t}.$$

Прогрессия убывающая, значит, $d<0$, то есть $t>0$:

$$4m-m^2>0\iff m(4-m)>0\iff 0<m<4.$$

а) Если $m>7$, то $m>0$ и $4-m<0$, поэтому $t=m(4-m)<0$ и $d=-\frac{2}{t}>0$. Прогрессия была бы возрастающей, что противоречит условию. Значит, $m$ не может быть больше $7$.

б) По формуле $n$-го члена арифметической прогрессии

$$a_n=a_1+(n-1)d=\frac{t-11}{t}-\frac{2(n-1)}{t}=\frac{t-2n-9}{t}.$$

По условию $a_n=\frac{-14}{t}$, поэтому

$$t-2n-9=-14\iff t=2n-5.$$

С другой стороны, выделим полный квадрат:

$$t=4m-m^2=4-(m-2{)}^2⩽4.$$

Значит, $2n-5⩽4$, то есть $n⩽4,5$. При $n=5$ получилось бы $t=5>4$, что невозможно. Значит, ровно $5$ членов в прогрессии быть не может.

в) Какие $n$ возможны. Из пункта б) $n⩽4$, а по условию $n>2$. Значит, $n=3$ или $n=4$. Проверим, что оба случая реализуются, и найдём суммы.

Случай $n=3$. Тогда $t=2\cdot 3-5=1$, то есть $m^2-4m+1=0$, откуда $m=2\pm \sqrt{3}$. Оба значения лежат в интервале $(0;4)$, так что такая прогрессия существует. Её члены:

$$a_1=\frac{1-11}{1}=-10,a_2=\frac{1-13}{1}=-12,a_3=\frac{-14}{1}=-14.$$

Сумма $S_3=-10-12-14=-36$.

Случай $n=4$. Тогда $t=2\cdot 4-5=3$, то есть $m^2-4m+3=0$, откуда $m=1$ или $m=3$. Оба значения лежат в интервале $(0;4)$. Члены прогрессии:

$$a_1=-\frac{8}{3},a_2=-\frac{10}{3},a_3=-\frac{12}{3}=-4,a_4=-\frac{14}{3}.$$

По формуле суммы арифметической прогрессии

$$S_4=\frac{a_1+a_4}{2}\cdot 4=2\cdot \left(-\frac{8}{3}-\frac{14}{3}\right)=-\frac{44}{3}.$$

Ответ: а) нет; б) нет; в) $-36$; $-\frac{44}{3}$.