ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Да, можно. Например,

$$2043=9+2034.$$

Числа $9$ и $2034$ различны, а суммы их цифр равны: $S(9)=9$ и $S(2034)=2+0+3+4=9$.

б) Предположим, что $599=a+b$, где $a\ne b$ — натуральные числа с одинаковой суммой цифр. Оба числа меньше $599$, поэтому в них не больше трёх цифр. Запишем их трёхзначными, дописав при необходимости нули слева (сумма цифр от этого не меняется): $a=\overline{a_2{a}_1{a}_0}$, $b=\overline{b_2{b}_1{b}_0}$.

Сложим числа столбиком. В разряде единиц сумма $a_0+b_0$ должна оканчиваться на $9$, то есть равна $9$ или $19$. Но сумма двух цифр не больше $18$, поэтому $a_0+b_0=9$ и переноса в десятки нет. В разряде десятков то же самое: $a_1+b_1$ оканчивается на $9$, значит, $a_1+b_1=9$ и переноса в сотни нет. В разряде сотен тогда $a_2+b_2=5$.

Сложим все цифры обоих чисел:

$$S(a)+S(b)=(a_2+b_2)+(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=5+9+9=23.$$

Если $S(a)=S(b)$, то $2S(a)=23$, а это невозможно: $23$ нечётно. Значит, нельзя.

в) Пусть семь различных натуральных чисел $x_1<x_2<\dots <x_7$ имеют одинаковую сумму цифр $s$.

Сделаем два наблюдения. Во-первых, число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на $9$, поэтому все $x_i$ дают при делении на $9$ тот же остаток, что и $s$. Во-вторых, любое натуральное число не меньше своей суммы цифр (каждая цифра входит в число с множителем $1,10,100,\dots$), поэтому $x_i⩾s$. Значит, $x_i=s+9t_i$, где $t_i$ — различные целые неотрицательные числа.

Оценка. Разберём два случая.

Пусть $s⩾6$. Семь различных неотрицательных целых $t_i$ в сумме дают не меньше $0+1+\dots +6=21$, поэтому

$$x_1+\dots +x_7=7s+9(t_1+\dots +t_7)⩾7s+9\cdot 21=7s+189⩾42+189=231.$$

Пусть $s⩽5$. Числа, меньшие $100$, с суммой цифр $s$ — это $\overline{uv}$ с $u+v=s$, где $u$ от $0$ до $s$ ($u=0$ даёт однозначное число $s$). Их ровно $s+1⩽6$, поэтому среди семи чисел хотя бы одно не меньше $100$: $x_7⩾100$. Остальные шесть чисел имеют вид $s+9t_i$ с различными $t_i⩾0$, поэтому

$$x_1+\dots +x_6⩾6s+9(0+1+\dots +5)=6s+135⩾141,$$

и вся сумма не меньше $141+100=241>231$.

В обоих случаях сумма не меньше $231$.

Пример. Возьмём $s=6$ и семь наименьших чисел с суммой цифр $6$:

$$6+15+24+33+42+51+60=231.$$

Числа различны, сумма цифр каждого равна $6$. Значит, наименьшее такое число — $231$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $231$.