ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Будем пользоваться известным фактом: число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на $9$ (а значит, и на $3$). Иначе говоря, разность $n-S(n)$ делится на $9$.

а) Запишем

$$11n+S(n)=12n-(n-S(n)).$$

Число $12n$ делится на $3$, разность $n-S(n)$ тоже делится на $3$. Значит, $11n+S(n)$ делится на $3$ при любом $n$. Сумма цифр числа $2021$ равна $5$, поэтому $2021$ на $3$ не делится. Значит, такого $n$ не существует.

б) Ограничения по остаткам. Запишем

$$3n+S(n)=4n-(n-S(n)).$$

Так как $n-S(n)$ делится на $9$, число $3n+S(n)$ даёт при делении на $9$ тот же остаток, что и $4n$. Сумма цифр числа $2021$ равна $5$, поэтому $2021$ даёт остаток $5$ при делении на $9$. Значит, $4n$ даёт остаток $5$ при делении на $9$.

Переберём остатки $b$ числа $n$ при делении на $9$: числа $4b$ при $b=0,1,\dots ,8$ дают остатки $0,4,8,3,7,2,6,1,5$. Остаток $5$ получается только при $b=8$. Итак, $n$ даёт остаток $8$ при делении на $9$.

Ограничения по величине. Сумма цифр натурального числа положительна, поэтому $3n<2021$, то есть $n⩽673$. Значит, у $n$ не больше трёх цифр, причём $n\ne 999$, поэтому $S(n)⩽26$. Тогда

$$3n=2021-S(n)⩾2021-26=1995,n⩾665.$$

Итак, $665⩽n⩽673$ и $n$ даёт остаток $8$ при делении на $9$. Так как $665=9\cdot 73+8$, а следующее такое число $674$ уже больше $673$, остаётся единственный кандидат $n=665$. Проверим его:

$$3\cdot 665+S(665)=1995+(6+6+5)=1995+17=2012\ne 2021.$$

Значит, такого $n$ не существует.

в) Пусть $n=\overline{xy}=10x+y$, где $x$ — цифра от $1$ до $9$, $y$ — цифра от $0$ до $9$. Тогда $S(n)=x+y$ и уравнение принимает вид

$$9kn=11350-(x+y).$$

Левая часть делится на $9$, значит, и $11350-(x+y)$ делится на $9$. Так как $11350=9\cdot 1261+1$, число $x+y$ должно давать остаток $1$ при делении на $9$. При этом $1⩽x+y⩽18$, поэтому $x+y=1$ или $x+y=10$.

Случай $x+y=1$. Так как $x⩾1$, получаем $x=1$, $y=0$, $n=10$. Уравнение даёт $90k=11349$, но $11349$ нечётно и на $90$ не делится. Решений нет.

Случай $x+y=10$. Уравнение даёт $9kn=11340$, то есть

$$kn=1260=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7.$$

Двузначные числа с суммой цифр $10$: $19,28,37,46,55,64,73,82,91$. Число $n$ должно быть делителем $1260$. Числа $19$, $37$, $73$ — простые, не входящие в разложение $1260$; $46=2\cdot 23$, $55=5\cdot 11$, $82=2\cdot 41$, $91=7\cdot 13$ содержат простые множители $23$, $11$, $41$, $13$, которых в $1260$ нет; $64=2^6$, а $1260$ делится только на $2^2$. Подходит одно число $n=28=2^2\cdot 7$, и тогда $k=\frac{1260}{28}=45$.

Оценка. Мы показали, что равенство возможно только при $n=28$ и $k=45$. Значит, ни при каком натуральном $k<45$ подходящего двузначного $n$ нет.

Пример. При $k=45$ и $n=28$:

$$9\cdot 45\cdot 28+(2+8)=11340+10=11350.$$

Значит, наименьшее $k$ равно $45$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $45$.